उत्तल समुच्चय क्या है? — गणित

परिभाषा 17.11 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 17 — आनत समष्टियाँ

किसी आनत समष्टि का उपसमुच्चय $C$ उत्तल कहलाता है जब वह अपने बिंदुओं के अऋणात्मक भारों वाले हर बैरिकेंद्र को समाहित करे — समतुल्य रूप से, अपने बिंदुओं के बीच का हर खंड $\intcc{A}{B} = \{\operatorname{bar}(A, 1-t; B, t) : t \in \intcc{0}{1}\}$ । उत्तल कवच $\operatorname{conv}(S)$ $S$ के बिंदुओं के सभी अऋणात्मक-भार बैरिकेंद्रों का समुच्चय है — अर्थात् $S$ को समाहित करने वाला सबसे छोटा उत्तल समुच्चय।

उदाहरण

उदाहरण 17.12 (अधिआलेख उत्तल समुच्चय होते हैं)

परवलय के ऊपर का क्षेत्र $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ उत्तल है: $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ और $t \in \intcc01$ के लिए वर्ग फलन की उत्तलता असमिका देती है

\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

अतः बैरिकेंद्र परवलय के ऊपर ही रहता है। यह परिकलन सामान्य है: $\{y \geq f(x)\}$ ठीक तब उत्तल है जब $f$ उत्तल फलन हो — अर्थात् उत्तल समुच्चय और उत्तल फलन (अध्याय 8) एक ही धारणा के दो चेहरे हैं, और अधिआलेख उनका शब्दकोश। और यही वह ज्यामितीय कारण है कि उत्तल फलनों की अवलंब रेखाएँ विद्यमान होती हैं — वही तथ्य जो अध्याय 22 में जेनसन की असमिका सिद्ध करेगा।

उदाहरण 17.13 (किसी उत्तल कवच के अनावश्यक जनक)

$S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\}$ लीजिए। पाँचवाँ बिंदु बैरिकेंद्र

(1,1) = \operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (2,2), \tfrac12\bigr),

है, अतः वह पहले ही शेष चारों के कवच में पड़ा है: $\operatorname{conv}(S)$ वही वर्ग है जिसके चारों कोने शीर्ष हैं। सामान्य रूप में $S$ का वह बिंदु जो $S$ के शेष बिंदुओं का अऋणात्मक-भार बैरिकेंद्र हो, कवच बदले बिना हटाया जा सकता है; और जिन बिंदुओं को कभी नहीं हटाया जा सकता (यहाँ चारों कोने) वे कवच के चरम बिंदु हैं। उनका निर्धारण विशुद्ध बैरिकेंद्रीय परिकलन है: मान लीजिए $(2,0)$ को शेष बिंदुओं के अऋणात्मक भारों वाले $\operatorname{bar}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, क्योंकि पहला निर्देशांक सारा भार $x = 2$ वाले बिंदुओं पर डाल देता है और तब दूसरा निर्देशांक विफल हो जाता है। उत्तलता के प्रश्न बार-बार छोटे भारित निकाय हल करने पर सिमट आते हैं।

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