Apa itu ruang afin?

Contoh 17.2 (Sebuah ruang afin tanpa titik asal yang alami)

Bidang penyelesaian $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ bukan subruang vektor (sebab $0 \notin \mathcal E$), tetapi ia ruang afin yang diarahkan $E = \{x + y + z = 0\}$: sebab untuk $A, B \in \mathcal E$ selisih $\vect{AB} = B - A$ mendarat di $E$ (karena jumlahnya saling meniadakan), Chasles diwarisi dari $\R^3$, dan $B \mapsto \vect{AB}$ bijektif ke $E$. Tak ada titik $\mathcal E$ yang diistimewakan — sebab sembarang pemilihan “titik asal” $O \in \mathcal E$ sama saja berhasil, dan semua pengenalan $M \mapsto \vect{OM}$ hanya berselisih penggeseran. Inilah keadaan yang khas: himpunan penyelesaian masalah linear yang tak homogen (yakni sistem linear, persamaan diferensial linear pada Bab 16) bersifat afin, tak pernah linear, dan slogan “penyelesaian khusus ditambah kernel” persis merupakan pernyataan $\mathcal F = A + F$ pada definisi berikutnya.