Qu'est-ce que « ensemble convexe » ?

Exemple 17.12 (Les épigraphes sont des ensembles convexes)

La région $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ au-dessus de la parabole est convexe : pour $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ et $t \in \intcc01$, l’inégalité de convexité de la fonction carré donne

donc le barycentre reste au-dessus de la parabole. Le calcul est général : $\{y \geq f(x)\}$ est convexe exactement lorsque $f$ est une fonction convexe — les ensembles convexes et les fonctions convexes (Chapitre 8) sont deux faces d’une même notion, les épigraphes en étant le dictionnaire. C’est la raison géométrique de l’existence des droites d’appui pour les fonctions convexes, le fait qui démontrera l’inégalité de Jensen au Chapitre 22.

Exemple 17.13 (Générateurs redondants d’un convexe)

Soit $S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\}$. Le cinquième point est le barycentre

il est donc déjà dans l’enveloppe des quatre autres : $\operatorname{conv}(S)$ est le carré ayant les quatre coins pour sommets. En général, un point de $S$ qui est un barycentre à poids positifs des autres points de $S$ peut être supprimé sans changer l’enveloppe ; les points qui ne peuvent jamais être supprimés (ici les quatre coins) sont les points extrémaux de l’enveloppe. Les déterminer est un pur calcul de barycentre : $(2,0)$, par exemple, ne peut s’écrire comme $\operatorname{bar}$ des points restants avec des poids positifs, car la première coordonnée forcerait tout le poids sur les points avec $x = 2$, et la seconde coordonnée échoue alors. Les questions de convexité se ramènent, encore et encore, à résoudre de petits systèmes pondérés.