Apa itu Barisentrum? — Matematika

Definisi 17.3 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 17 — Ruang Afin

Misalkan $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ titik terbobot dengan $\sum\lambda_i \neq 0$ . Adapun barisentrum $G = \operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ adalah titik tunggal dengan

\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0 \qquad\text{setara dengan}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i} \quad (\text{sembarang } O).

Barisentrum bersifat asosiatif (sebab subkelompok titiknya boleh diganti barisentrum parsialnya dengan bobot yang dijumlahkan) dan invarian terhadap penskalaan ulang semua bobotnya.

Contoh

Contoh 17.7 (Geometri barisentrum yang klasik)

Titik berat segitiga $ABC$ adalah barisentrum $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$ . Keasosiatifannya bersama titik tengah $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ menunjukkan

G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :

jadi $G$ terletak pada garis berat $AA'$ pada dua pertiganya — dan demikian pula bagi dua garis berat lainnya: sehingga ketiga garis beratnya berkonkuren, dalam satu baris kalkulus barisentrik.

Contoh 17.8 (Bimedian sebuah segi empat)

Misalkan $ABCD$ sembarang segi empat (bidang atau bukan!) lalu tinjaulah bimediannya: yakni ruas yang menghubungkan titik tengah sisi berhadapannya, $M_{AB}M_{CD}$ dan $M_{BC}M_{DA}$ . Perkenalkanlah barisentrum $G$ milik $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ lalu kelompokkanlah bobotnya lewat dua cara:

G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr) = \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :

jadi $G$ adalah titik tengah kedua bimediannya — sehingga kedua bimediannya selalu saling membagi dua, dan segi empat yang dibentuk keempat titik tengahnya adalah jajaran genjang (yang diagonalnya adalah bimediannya). Jadi tanpa analisis kasus, tanpa koordinat, dan hujahnya bertahan tanpa berubah bagi segi empat yang bersilang di $\R^3$ , tempat bukti berbasis gambar sudah akan peka: sebab keasosiatifannya tak peduli pada dimensinya.

Contoh 17.12 (Epigraf itu himpunan cembung)

Daerah $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ di atas parabolanya bersifat cembung: sebab untuk $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ dan $t \in \intcc01$ , ketaksamaan kecembungan fungsi kuadratnya memberi

\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

jadi barisentrumnya tetap di atas parabolanya. Adapun perhitungannya bersifat umum: $\{y \geq f(x)\}$ cembung persis ketika $f$ merupakan fungsi cembung — jadi himpunan cembung dan fungsi cembung (Bab 8) adalah dua wajah satu gagasan, dengan epigrafnya sebagai kamusnya. Inilah alasan geometris mengapa garis penyangga ada bagi fungsi cembung, yakni fakta yang kelak membuktikan ketaksamaan Jensen pada Bab 22.

Baca dalam konteks →