Apa itu ruang metrik kompak? — Matematika

Definisi 4.15 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 4 — Topologi Ruang Metrik

Sebuah ruang metrik $X$ disebut kompak apabila setiap barisan di $X$ punya barisan bagian yang konvergen di dalam $X$ (sifat Bolzano–Weierstrass). Sebuah himpunan bagian disebut kompak apabila ia kompak dengan jarak imbasannya.

Tahap-tahap awal himpunan Cantor (): tiap tingkatnya membuang sepertiga tengah yang terbuka dari setiap ruasnya. Irisan C = _n C_n bersifat kompak, berinterior kosong dan berpanjang nol, namun ekuipoten dengan ℝ — dan ia kembali sebagai titik tetap sebuah kontraksi atas himpunan pada soal akhir pekan bab ini (pertanyaan 22). — Tahap-tahap awal himpunan Cantor (Latihan 4.8): tiap tingkatnya membuang sepertiga tengah yang terbuka dari setiap ruasnya. Irisan $C = \bigcap_n C_n$ bersifat kompak, berinterior kosong dan berpanjang nol, namun ekuipoten dengan $\R$ — dan ia kembali sebagai *titik tetap* sebuah kontraksi atas himpunan pada soal akhir pekan bab ini (pertanyaan 22).

Contoh

Contoh 4.17 (Teorema Heine, dengan dan tanpa kekompakan)

Pada $\intcc{0}{1}$ , fungsi $x \mapsto x^2$ bersifat kontinu seragam — Heine mengatakannya tanpa perhitungan, tetapi taksiran langsungnya tetap mendidik:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

jadi $\delta = \varepsilon/2$ berhasil untuk semua titik sekaligus. Pada $\R$ fungsi yang sama tidak kontinu seragam: dengan $x_n = n$ dan $y_n = n + \frac1n$ , jurangnya $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ padahal $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : jadi tak ada satu pun $\delta$ yang melayani $\varepsilon = 1$ . Mekanismenya kasatmata: konstanta Lipschitz lokalnya $\abs{x + y}$ terbatas pada himpunan kompak dan tak terbatas pada $\R$ — teorema Heine adalah pernyataan bahwa kekompakan membatasi konstanta lokal semacam itu secara seragam.

Contoh 4.19 (Jarak antara dua himpunan: kekompakan membayar sewanya)

Misalkan $K$ kompak, $F$ tertutup, dan $K \cap F = \emptyset$ di dalam sebuah ruang metrik. Maka

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

sebab fungsi $x \mapsto d(x, F)$ bersifat kontinu (Latihan 4.11) dan positif pada $K$ (sebab $d(x, F) = 0$ akan menaruh $x \in \overline F = F$ ), jadi ia mencapai minimum yang positif pada himpunan kompak $K$ (Teorema 4.16 (3)). Kekompakan bukan hiasan: untuk dua himpunan tertutup infimumnya bisa lenyap tanpa tercapai — di $\R^2$ , hiperbola $F_1 = \{xy = 1\}$ dan sumbu $F_2 = \{y = 0\}$ merupakan dua himpunan tertutup yang saling lepas dengan $d(F_1, F_2) = 0$ (sebab titik $(n, \frac1n)$ mendekati sumbunya). Justru pelarian ke tak hingga itulah yang dilarang kekompakan.

Contoh 4.21 (Sebuah jaring- $\varepsilon$ , dicacah)

Keterbatasan total (dari bukti Teorema 4.20) sangat konkret pada $\intcc{0}{1}$ : untuk $\varepsilon > 0$ , sebanyak $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bola berpusat di $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ dan berjari-jari $\varepsilon$ menyelimutinya — kira-kira $\frac1{2\varepsilon}$ bola, dan tak ada selimut yang sanggup dengan kurang dari $\frac{1}{2\varepsilon}$ di antaranya (sebab tiap bola menyelimuti panjang paling banyak $2\varepsilon$ ). Di $\intcc01^2$ cacahannya menjadi kuadratnya, yakni berorde $\varepsilon^{-2}$ : bilangan penyelimutan tumbuh seperti $\varepsilon^{-d}$ pada dimensi $d$ — sebuah wajah kuantitatif kekompakan, sekaligus alasan mengapa bola satuan yang berdimensi tak hingga pada Bab 5 (yang sama sekali tak punya jaring- $\frac13$ hingga) tak mungkin kompak.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait