Apa itu kurva terparameter?

Contoh 24.3 (Cabang asimtotik, dikerjakan)

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ pada $\intoo{0}{+\infty}$. Ketika $t \to 0^{+}$: $x \to 0$ sedangkan $y \to +\infty$ — jadi kurvanya memanjat sepanjang asimtot tegak $x = 0$ (yaitu limit hingga bagi satu koordinat, dan takhingga bagi yang lain). Ketika $t \to +\infty$: kedua koordinatnya meledak, jadi ujilah sebuah garis: karena selisih

memperlihatkan asimtot miring $y = x$, yang didekati dari atas. Di antaranya, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ lenyap di $t = 1$: sehingga titik $(1, 2)$ merupakan titik terendah cabangnya, dan $x' = 1 > 0$ sepanjangnya, jadi kurvanya selalu maju ke kanan. Satu busur, dua asimtot, satu minimum: yaitu gambaran lengkap dari tiga perhitungan — dengan resep umumnya kasatmata di bawahnya: bahwa ketika $x, y \to \infty$ bersama, periksalah $y/x$ bagi calon kemiringannya (di sini $\to 1$), lalu $y - (\text{kemiringan})\,x$ bagi perpotongan dan sisi pendekatannya.

Contoh 24.4 (Astroid)

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Kesetangkupannya: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (jadi pelajarilah satu periode); $M(-t)$ merupakan pencerminan $M(t)$ pada sumbu $x$; $M(\pi - t)$ pada sumbu $y$; dan $M(\frac\pi2 - t)$ pada diagonal $y = x$: sehingga cukuplah mempelajari $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ lalu membukanya.

Kecepatannya: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. Pada $\intoo{0}{\frac\pi2}$ semua titiknya reguler dengan garis singgung yang berarah $(-\cos t, \sin t)$; sedangkan di $t = 0$ (yaitu titik $(1,0)$) kecepatannya lenyap: jadi sebuah titik runcing, tempat kurvanya berbalik sepanjang arah singgungnya $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — dan lewat kesetangkupannya keempat titik runcingnya duduk di $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

Contoh 24.5 (Sebuah angka delapan, dipelajari selengkapnya)

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (yaitu kurva Lissajous). Kesetangkupannya: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (yaitu pencerminan pada sumbu $y$), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (kesetangkupan pusat), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (pencerminan pada sumbu $x$): sehingga cukuplah mempelajari $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ lalu membukanya. Ragamnya: $x' = \cos t \geq 0$ sepanjangnya, sedangkan $y' = 2\cos 2t$ positif sebelum $t = \frac\pi4$ dan negatif sesudahnya: jadi busurnya memanjat ke kanan menuju puncak $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ di $t = \frac\pi4$ (dengan garis singgung mendatar), lalu menurun ke kanan menuju $(1, 0)$ di $t = \frac\pi2$, tempat $x' = 0 \neq y'$: jadi garis singgung tegak. Titik ganda: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, dengan dua kecepatan yang berbeda

yaitu dua cabang yang reguler dan bersilangan di titik asalnya pada sudut yang berbeda — jadi titik ganda, bukan titik singular: karena setiap lintasannya mulus sempurna, dan kedua lintasannya hanya berbagi tempat. Adapun seluruh kurvanya adalah angka delapan di bawah.