ما معنى منحن معلَّمي؟

مثال 24.3 (الفروع المقاربة، معالجةً)

$x(t) = t$ و $y(t) = t + \dfrac1t$ على $\intoo{0}{+\infty}$. وعندما $t \to 0^{+}$: يكون $x \to 0$ بينما $y \to +\infty$ — فيتسلق المنحني على امتداد المقارب العمودي $x = 0$ (بنهاية منتهية من أجل إحداثية، وغير منتهية من أجل الأخرى). وعندما $t \to +\infty$: تنفجر الإحداثيتان معًا، فاختبر مستقيمًا: يُظهر الفرق

المقاربَ المائل $y = x$، مقتربًا منه من أعلى. وبينهما، ينعدم $y' = 1 - \frac1{t^2}$ عند $t = 1$: فالنقطة $(1, 2)$ هي أخفض نقطة في الفرع، و $x' = 1 > 0$ في كل مكان، ومنه فالمنحني يتقدم يمينًا دائمًا. أي قوس واحد ومقاربان وقيمة صغرى واحدة: صورةٌ كاملة من ثلاثة حسابات — مع ظهور الوصفة العامة تحتها: فحين يكون $x, y \to \infty$ معًا، افحص $y/x$ بحثًا عن ميل مرشّح (وهو هنا $\to 1$)، ثم $y - (\text{ميل})\,x$ من أجل المقطع وجهة الاقتراب.

مثال 24.4 (النجمية)

$x(t) = \cos^3 t$ و $y(t) = \sin^3 t$. والتناظرات: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (فادرس دورًا واحدًا)؛ و $M(-t)$ انعكاس $M(t)$ في محور $x$؛ و $M(\pi - t)$ في محور $y$؛ و $M(\frac\pi2 - t)$ في القطر $y = x$: ومنه يكفي دراسة $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ ثم النشر.

والسرعة: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. وعلى $\intoo{0}{\frac\pi2}$ تكون كل النقاط ناظمية بمماس موجَّه بالمقدار $(-\cos t, \sin t)$؛ وعند $t = 0$ (وهي النقطة $(1,0)$) تنعدم السرعة: أي نقطة ارتداد، حيث ينعكس المنحني على امتداد اتجاه المماس $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — وبالتناظر تقع نقاط الارتداد الأربع عند $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

مثال 24.5 (منحني على شكل ثمانية، مدروسًا كاملًا)

$x(t) = \sin t$ و $y(t) = \sin 2t$ (وهو منحني ليساجو). التناظرات: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (انعكاس في محور $y$)، و $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (تماثل مركزي)، و $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (انعكاس في محور $x$): ومنه يكفي دراسة $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ ثم النشر. والتغيرات: $x' = \cos t \geq 0$ في كل مكان، بينما $y' = 2\cos 2t$ موجب قبل $t = \frac\pi4$ وسالب بعده: فيتسلق القوس يمينًا إلى القمة $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ عند $t = \frac\pi4$ (بمماس أفقي)، ثم ينزل يمينًا إلى $(1, 0)$ عند $t = \frac\pi2$، حيث $x' = 0 \neq y'$: أي مماس عمودي. والنقطة المضاعفة: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$، بسرعتين مختلفتين

أي فرعان ناظميان يتقاطعان عند المبدأ بزاويتين متمايزتين — أي نقطة مضاعفة لا نقطة شاذة: فكل مرور ملس تمامًا، والمروران يتقاسمان موضعهما فحسب. والمنحني كله هو الثمانية أدناه.