Qu'est-ce que « courbe paramétrée » ?

Exemple 24.3 (Branches asymptotiques, un exemple traité)

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ sur $\intoo{0}{+\infty}$. Quand $t \to 0^{+}$ : $x \to 0$ tandis que $y \to +\infty$ — la courbe grimpe le long de l’asymptote verticale $x = 0$ (limite finie pour une coordonnée, infinie pour l’autre). Quand $t \to +\infty$ : les deux coordonnées explosent ; on teste alors une droite : la différence

met en évidence l’asymptote oblique $y = x$, approchée par valeurs supérieures. Entre les deux, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ s’annule en $t = 1$ : le point $(1, 2)$ est le point bas de la branche, et $x' = 1 > 0$ partout, donc la courbe avance toujours vers la droite. Un arc, deux asymptotes, un minimum : une image complète à partir de trois calculs — avec la recette générale visible en dessous : lorsque $x, y \to \infty$ ensemble, examiner $y/x$ pour une pente candidate (ici $\to 1$), puis $y - (\text{pente})\,x$ pour l’ordonnée à l’origine et le côté d’approche.

Exemple 24.4 (L’astroïde)

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Symétries : $M(t + 2\pi) = M(t)$ (on étudie une période) ; $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$ ; $M(\pi - t)$ par rapport à l’axe des $y$ ; $M(\frac\pi2 - t)$ par rapport à la diagonale $y = x$ : il suffit d’étudier $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ et de déplier.

Vitesse : $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. Sur $\intoo{0}{\frac\pi2}$ tous les points sont réguliers, de tangente dirigée par $(-\cos t, \sin t)$ ; en $t = 0$ (le point $(1,0)$) la vitesse s’annule : c’est un point de rebroussement, où la courbe rebrousse chemin le long de la direction tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — par symétrie, les quatre points de rebroussement sont en $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

Exemple 24.5 (Une courbe en huit, étudiée complètement)

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (une courbe de Lissajous). Symétries : $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (réflexion par rapport à l’axe des $y$), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (symétrie centrale), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (réflexion par rapport à l’axe des $x$) : il suffit d’étudier $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ et de déplier. Variations : $x' = \cos t \geq 0$ partout, tandis que $y' = 2\cos 2t$ est positif avant $t = \frac\pi4$ et négatif après : l’arc monte vers la droite jusqu’au sommet $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ en $t = \frac\pi4$ (tangente horizontale), puis descend vers la droite jusqu’à $(1, 0)$ en $t = \frac\pi2$, où $x' = 0 \neq y'$ : tangente verticale. Point double : $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, avec deux vitesses différentes

deux branches régulières se croisant à l’origine selon des angles distincts — un point double, non un point singulier : chaque passage est parfaitement lisse, les deux passages partagent simplement leur position. La courbe entière est le huit ci-dessous.