¿Qué es curva parametrizada?

Ejemplo 24.3 (Ramas asintóticas, trabajadas)

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ en $\intoo{0}{+\infty}$. Cuando $t \to 0^{+}$: $x \to 0$ mientras $y \to +\infty$ — la curva trepa a lo largo de la asíntota vertical $x = 0$ (límite finito para una coordenada e infinito para la otra). Cuando $t \to +\infty$: las dos coordenadas explotan, así que pruébese con una recta: la diferencia

exhibe la asíntota oblicua $y = x$, alcanzada por encima. Entremedias, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ se anula en $t = 1$: el punto $(1, 2)$ es el punto bajo de la rama, y $x' = 1 > 0$ en todo el recorrido, de modo que la curva siempre avanza hacia la derecha. Un arco, dos asíntotas, un mínimo: una imagen completa a partir de tres cálculos — con la receta general visible por debajo: cuando $x, y \to \infty$ juntas, examínese $y/x$ para una pendiente candidata (aquí $\to 1$) y después $y - (\text{pendiente})\,x$ para la ordenada en el origen y el lado de aproximación.

Ejemplo 24.4 (La astroide)

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Simetrías: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (estúdiese un período); $M(-t)$ es el reflejo de $M(t)$ respecto del eje $x$; $M(\pi - t)$, respecto del eje $y$; y $M(\frac\pi2 - t)$, respecto de la diagonal $y = x$: basta estudiar $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ y desplegar.

Velocidad: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. En $\intoo{0}{\frac\pi2}$ todos los puntos son regulares con tangente dirigida por $(-\cos t, \sin t)$; y en $t = 0$ (el punto $(1,0)$) la velocidad se anula: un punto de retroceso, donde la curva se invierte a lo largo de la dirección tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — por simetría, los cuatro puntos de retroceso están en $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

Ejemplo 24.5 (Un ocho, estudiado al completo)

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (una curva de Lissajous). Simetrías: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (reflexión respecto del eje $y$), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (simetría central), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (reflexión respecto del eje $x$): basta estudiar $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ y desplegar. Variaciones: $x' = \cos t \geq 0$ en todo el recorrido, mientras que $y' = 2\cos 2t$ es positiva antes de $t = \frac\pi4$ y negativa después: el arco sube hacia la derecha hasta la cima $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ en $t = \frac\pi4$ (tangente horizontal) y desciende después hacia la derecha hasta $(1, 0)$ en $t = \frac\pi2$, donde $x' = 0 \neq y'$: tangente vertical. Punto doble: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, con dos velocidades distintas

dos ramas regulares que se cruzan en el origen con ángulos distintos — un punto doble, no un punto singular: cada paso es perfectamente suave, y los dos pasos simplemente comparten el lugar. La curva entera es el ocho de más abajo.