Wat is geparametriseerde kromme?

Voorbeeld 24.3 (Asymptotische takken, uitgewerkt)

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ op $\intoo{0}{+\infty}$. Als $t \to 0^{+}$: $x \to 0$ terwijl $y \to +\infty$ — de kromme klimt langs de verticale asymptoot $x = 0$ (een eindige limiet voor de ene coördinaat, oneindig voor de andere). Als $t \to +\infty$ blazen beide coördinaten op, dus toets een rechte: het verschil

toont de schuine asymptoot $y = x$, van boven benaderd. Daartussenin wordt $y' = 1 - \frac1{t^2}$ nul bij $t = 1$: het punt $(1, 2)$ is het laagste punt van de tak, en $x' = 1 > 0$ overal, dus schuift de kromme altijd naar rechts op. Eén boog, twee asymptoten, één minimum: een volledig beeld uit drie berekeningen — met het algemene recept eronder zichtbaar: gaan $x$ en $y$ samen naar oneindig, onderzoek dan $y/x$ voor een kandidaat-helling (hier $\to 1$), en daarna $y - (\text{helling})\,x$ voor het snijpunt en de kant van de benadering.

Voorbeeld 24.4 (De astroïde)

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Symmetrieën: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (bestudeer één periode); $M(-t)$ is de spiegeling van $M(t)$ in de $x$-as; $M(\pi - t)$ in de $y$-as; $M(\frac\pi2 - t)$ in de diagonaal $y = x$: het volstaat $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ te bestuderen en uit te vouwen.

Snelheid: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. Op $\intoo{0}{\frac\pi2}$ zijn alle punten regulier met een raaklijn gericht door $(-\cos t, \sin t)$; bij $t = 0$ (het punt $(1,0)$) wordt de snelheid nul: een keerpunt, waar de kromme omkeert langs de raakrichting $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — uit symmetrie liggen de vier keerpunten in $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

Voorbeeld 24.5 (Een liggende acht, volledig onderzocht)

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (een lissajouskromme). Symmetrieën: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (spiegeling in de $y$-as), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (centrale symmetrie), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (spiegeling in de $x$-as): het volstaat $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ te bestuderen en uit te vouwen. Verloop: $x' = \cos t \geq 0$ overal, terwijl $y' = 2\cos 2t$ positief is vóór $t = \frac\pi4$ en negatief erna: de boog klimt naar rechts tot de top $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ bij $t = \frac\pi4$ (horizontale raaklijn), en daalt daarna naar rechts tot $(1, 0)$ bij $t = \frac\pi2$, waar $x' = 0 \neq y'$: verticale raaklijn. Dubbelpunt: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, met twee verschillende snelheden

twee reguliere takken die elkaar in de oorsprong onder verschillende hoeken kruisen — een dubbelpunt, geen singulier punt: elke doorgang is volmaakt glad, de twee doorgangen delen alleen hun plaats. De hele kromme is de liggende acht hieronder.