प्राचलित वक्र क्या है?

उदाहरण 24.3 (अनंतस्पर्शी शाखाएँ, हल करके)

$\intoo{0}{+\infty}$ पर $x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$। $t \to 0^{+}$ होने पर: $x \to 0$, जबकि $y \to +\infty$ — अतः वक्र ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी $x = 0$ के अनुदिश चढ़ता है (एक निर्देशांक के लिए परिमित सीमा, दूसरे के लिए अनंत)। $t \to +\infty$ होने पर: दोनों निर्देशांक फट पड़ते हैं, अतः किसी रेखा को परखिए: अंतर

तिरछी अनंतस्पर्शी $y = x$ दिखा देता है, जिस तक ऊपर से पहुँचा जाता है। बीच में $y' = 1 - \frac1{t^2}$ $t = 1$ पर शून्य होता है: बिंदु $(1, 2)$ उस शाखा का सबसे निचला बिंदु है, और सर्वत्र $x' = 1 > 0$, अतः वक्र सदा दाईं ओर बढ़ता है। एक चाप, दो अनंतस्पर्शी, एक न्यूनतम: तीन संगणनाओं से पूरा चित्र — और नीचे व्यापक नुस्ख़ा दिखाई दे रहा है: जब $x, y \to \infty$ एक साथ हों, तो संभावित प्रवणता के लिए $y/x$ देखिए (यहाँ $\to 1$), फिर अंतःखंड और पहुँचने की दिशा के लिए $y - (\text{प्रवणता})\,x$।

उदाहरण 24.4 (ऐस्ट्रॉयड)

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. सममितियाँ: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (एक आवर्त का अध्ययन कीजिए); $M(-t)$ $x$-अक्ष में $M(t)$ का परावर्तन है; $M(\pi - t)$ $y$-अक्ष में; $M(\frac\pi2 - t)$ विकर्ण $y = x$ में: अतः $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ का अध्ययन पर्याप्त है, और फिर उसे खोल लीजिए।

वेग: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$। $\intoo{0}{\frac\pi2}$ पर सभी बिंदु नियमित हैं और स्पर्शरेखा की दिशा $(-\cos t, \sin t)$ है; $t = 0$ पर (बिंदु $(1,0)$) वेग शून्य हो जाता है: यह एक उभयाग्र है, जहाँ वक्र स्पर्श-दिशा $(-1, 0)\cdot(\pm)$ के अनुदिश पलट जाता है — और सममिति से चारों उभयाग्र $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ पर बैठते हैं।

उदाहरण 24.5 (आठ की आकृति, पूरा अध्ययन)

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (एक लिसाजू वक्र)। सममितियाँ: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ ($y$-अक्ष में परावर्तन), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (केंद्रीय सममिति), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ ($x$-अक्ष में परावर्तन): अतः $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ का अध्ययन पर्याप्त है, और फिर उसे खोल लीजिए। विचरण: सर्वत्र $x' = \cos t \geq 0$, जबकि $y' = 2\cos 2t$ $t = \frac\pi4$ से पहले धनात्मक और उसके बाद ऋणात्मक है: अतः चाप $t = \frac\pi4$ पर शिखर $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ तक दाईं ओर चढ़ता है (क्षैतिज स्पर्शरेखा), फिर $t = \frac\pi2$ पर $(1, 0)$ तक दाईं ओर उतरता है, जहाँ $x' = 0 \neq y'$: ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा। द्विक बिंदु: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, जहाँ दो भिन्न वेग हैं

अर्थात् मूल बिंदु पर भिन्न-भिन्न कोणों से काटती दो नियमित शाखाएँ — यह द्विक बिंदु है, विचित्र बिंदु नहीं: हर गुज़र पूरी तरह चिकना है, बस दोनों गुज़रों का स्थान एक ही है। पूरा वक्र नीचे दी गई आठ की आकृति है।