什么是 Limit superior kejadian？

Contoh 21.24 (Menerjemahkan “tak berhingga sering” dan “akhirnya”)

Komplemen $\limsup_nA_n$ adalah, menurut de Morgan,

yakni kejadian “akhirnya, $A_n$ gagal” (yang ditulis $\liminf_nA_n^c$). Jadi “$A_n$ tak berhingga sering” dan “$A_n^c$ akhirnya” saling berkomplemen — dan menjaga kamus ini tetap lurus mencegah sebagian besar kecelakaan kuantor. Beberapa terjemahan contoh bagi pelemparan koin: “gambar yang tak berhingga banyaknya” adalah $\limsup\{X_n = H\}$; “hanya berhingga banyak deretan $100$ gambar” adalah komplemen sebuah limsup; dan “frekuensi berjalannya konvergen ke $\frac12$” adalah $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$ — jadi operasi terbilang di seluruhnya, sehingga semuanya kejadian yang jujur.

Contoh 21.26 (Deretan gambar yang tak berhingga)

Lemparkan koin setimbang selamanya, lalu misalkan $A_n$ kejadian “lemparan $n, n+1, \dots, n + k - 1$ semuanya gambar” (yakni deretan $k$ gambar yang bermula pada waktu $n$), untuk $k$ yang tetap. Maka kejadian $A_{jk}$ (dengan $j = 1, 2, \dots$), yang bergantung pada blok lemparan yang saling lepas, bersifat saling bebas, masing-masing berpeluang $2^{-k}$, dan $\sum_j 2^{-k} = \infty$: jadi menurut Borel–Cantelli 2, dengan peluang $1$ tak berhingga banyak bloknya seluruhnya gambar — sehingga setiap pola yang tetap berulang tak berhingga sering, secara hampir pasti. Sebaliknya, bila panjang deretannya kita biarkan tumbuh, $B_n = {}$“sebuah deretan $2\log_2 n$ gambar bermula di $n$” punya $\P(B_n) = n^{-2}$ yang terjumlahkan, jadi hampir pasti hanya berhingga banyak deretan panjang semacam itu bermula: sehingga Borel–Cantelli menakar persis seberapa panjang deretan terpanjangnya.