Apa itu modul dibangun secara berhingga?

Contoh 3.10 (Sebuah reduksi Smith, selengkapnya)

Reduksikan $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ atas $\Z$. Sudutnya, yaitu $1$, membagi segalanya: bersihkan baris dan kolomnya ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$, lalu $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$):

Pada blok dalamnya, sudutnya $-3$ membagi semua entri: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ dan $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ membersihkannya menjadi $\operatorname{diag}(-3, 0)$. Setelah tandanya disesuaikan (kalikan sebuah baris dengan $-1$, sebuah operasi yang sah):

Periksa silang lewat pembagi determinan: $D_1 = \gcd(\text{entri}) = 1$; setiap minor $2\times2$ dari $M$ merupakan kelipatan $3$ (misalnya $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) dan salah satunya sama dengan $-3$: jadi $D_2 = 3$; dan $D_3 = \det M = 0$. Karena itu $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: jawaban yang sama. Dua pelajarannya: faktor invarian yang nol merekam turunnya rank (kokernelnya memperoleh suku bebas $\Z$), dan rantai keterbagian $1 \mid 3 \mid 0$ merupakan sertifikat Smith — reduksi diagonal yang melanggar rantai itu (katakanlah $\operatorname{diag}(2, 3)$, yang bisa dihasilkan oleh yang ceroboh dari $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ karena berhenti terlalu dini: bentuk Smith yang benar adalah $\operatorname{diag}(1, 6)$, sebab di sini $D_1 = 1$!) belumlah selesai.