Qu'est-ce que « module de type fini » ?

Exemple 3.10 (Une réduction de Smith, en entier)

Réduire $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sur $\Z$. Le coin $1$ divise tout : nettoyer sa ligne et sa colonne ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$, puis $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$) :

Dans le bloc intérieur, le coin $-3$ divise toutes les entrées : $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ et $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ le nettoient en $\operatorname{diag}(-3, 0)$. En ajustant les signes (multiplier une ligne par $-1$, opération légale) :

Contrôle croisé par diviseurs déterminantaux : $D_1 = \gcd(\text{entrées}) = 1$ ; tout mineur $2\times2$ de $M$ est multiple de $3$ (p.ex. $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) et l’un vaut $-3$ : $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$. D’où $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$ : même réponse. Deux leçons : un facteur invariant nul enregistre la chute de rang (le conoyau ramasse un facteur libre $\Z$), et la chaîne de divisibilité $1 \mid 3 \mid 0$ est le certificat de Smith — une réduction diagonale qui viole la chaîne (disons $\operatorname{diag}(2, 3)$, que l’imprudent peut produire de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ en s’arrêtant trop tôt : forme de Smith correcte $\operatorname{diag}(1, 6)$, car $D_1 = 1$ ici !) n’est pas terminée.