Matematika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

3Modul atas Daerah Ideal Utama

Aljabar linear atas sebuah ring alih-alih atas sebuah lapangan: perubahan hipotesis yang kecil ini melahirkan salah satu teorema penyatuan terbesar dalam aljabar. Modul atas $\Z$ adalah grup abelian; modul atas $K[X]$ adalah ruang vektor yang dilengkapi sebuah endomorfisma. Karena itu teorema struktur untuk modul yang dibangun secara berhingga atas sebuah DIU mengklasifikasikan, dalam satu tarikan, semua grup abelian yang dibangun secara berhingga sekaligus semua endomorfisma sampai pada keserupaan — reduksi Jordan, yang pada Tahun ke-2 diperoleh lewat induksi yang berliku, jatuh sebagai akibat, bersama saudaranya yang lebih halus, yaitu bentuk kanonik rasional yang berlaku atas setiap lapangan. Mesin perhitungannya adalah bentuk normal Smith, sebuah aritmetika matriks yang layak disandingkan dengan Euclid.

Sepanjang bab ini $A$ adalah ring komutatif, yang segera menjadi DIU; kata “modul” berarti modul- $A$ .

3.1 Modul dan modul bebas

Definisi 3.1

Sebuah modul- $A$ adalah grup abelian $(M, +)$ dengan perkalian skalar $A \times M \to M$ yang memenuhi aksioma ruang vektor: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Submodul, modul kuosien $M/N$ , morfisma (pemetaan linear- $A$ ), jumlah langsung $\bigoplus_i M_i$ , dan teorema isomorfisma didefinisikan dan dibuktikan kata demi kata seperti pada ruang vektor dan grup abelian; khususnya $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ untuk sebuah morfisma $f$ .

Contoh 3.2

Berikut tiga kasus yang memotivasinya.

$A = K$ sebuah lapangan: modulnya adalah ruang vektor.
$A = \Z$ : modulnya tepat berupa grup abelian (sebab $nx$ terpaksa sama dengan $x + \dots + x$ ), dan submodulnya adalah subgrup.
$A = K[X]$ : modulnya berupa ruang vektor- $K$ $V$ beserta pemetaan linear- $K$ $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — sebaliknya, setiap pasangan $(V, u)$ dengan $u \in \mathcal L(V)$ menjadi modul- $K[X]$ lewat $P \cdot x = P(u)(x)$ . Submodulnya tepat berupa subruang yang stabil terhadap $u$ .

Ideal $A$ tidak lain adalah submodul $A$ ; ring kuosien $A/I$ merupakan modul- $A$ . Berbeda dengan ruang vektor, modul dapat mempunyai torsi: di $\Z/6\Z$ , unsur $\bar 3 \ne 0$ dimatikan oleh $2 \neq 0$ .

Definisi 3.3

Modul $M$ disebut dibangun secara berhingga jika $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ untuk suatu $x_i$ . Modul $M$ disebut bebas berrank $n$ jika $M \cong A^n$ , yakni jika ia mempunyai basis (keluarga pembangun yang bebas linear atas $A$ ). Setiap $M$ yang dibangun secara berhingga merupakan kuosien sebuah modul bebas: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ memetakan $A^n$ pada $M$ .

Proposisi 3.4 (Kekekalan rank)

Jika $A \neq 0$ dan $A^m \cong A^n$ , maka $m = n$ .

Bukti. Pilih sebuah ideal maksimal $\mathfrak m$ dari $A$ (Teorema 2.8) lalu tetapkan $k = A/\mathfrak m$ , sebuah lapangan. Isomorfisma $f \colon A^m \to A^n$ memetakan $\mathfrak m A^m$ ke dalam $\mathfrak m A^n$ (karena linearitas), sehingga menginduksikan isomorfisma antar-kuosien

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{yakni}\qquad k^m \cong k^n

sebagai ruang vektor- $k$ (kuosien $A^m/\mathfrak m A^m$ dimatikan oleh $\mathfrak m$ , sehingga aksi $A$ terfaktorkan melalui $k$ ; peta basis bakunya membentuk basis- $k$ ). Teori dimensi atas lapangan $k$ lalu memberikan $m = n$ . ∎

Teorema 3.5 (Submodul dari modul bebas)

Misalkan $A$ sebuah DIU dan $M \subseteq A^n$ sebuah submodul. Maka $M$ bebas dengan rank $\leq n$ .

Bukti. Induksi pada $n$ . Untuk $n = 1$ : $M$ berupa ideal, jadi $M = (0)$ (bebas berrank $0$ ) atau $M = dA \cong A$ (sebab $x \mapsto dx$ injektif di daerah integral). Untuk $n > 1$ : misalkan $\pi \colon A^n \to A$ koordinat terakhirnya. Maka $\pi(M)$ berupa ideal, entah $(0)$ entah $dA$ . Jika $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ dan induksinya berlaku. Jika tidak, pilihlah $x_0 \in M$ dengan $\pi(x_0) = d$ . Setiap $x \in M$ ditulis secara tunggal sebagai

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

(sebab $\pi(x) \in dA$ , sehingga koefisiennya di $A$ ). Dengan demikian $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : jumlahnya langsung sebab $\pi(ax_0) = ad = 0$ memaksa $a = 0$ . Menurut induksi, $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ bebas dengan rank $\leq n - 1$ ; menambahkan $x_0$ (yang bebas dari $\ker\pi$ seperti baru saja terlihat) memberikan basis $M$ yang berkardinalitas $\leq n$ . ∎

Catatan 3.6

Akibatnya, atas sebuah DIU setiap modul $M$ yang dibangun secara berhingga mempunyai penyajian berhingga: surjeksi $\varphi\colon A^n \to M$ mempunyai kernel bebas dengan basis $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ), dan $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ dengan $C \in M_{n,k}(A)$ berupa matriks yang kolomnya adalah $c_j$ . Memahami $M$ berarti memahami sebuah matriks atas $A$ sampai pada pergantian basis di sumber dan sasarannya — itulah pokok bagian berikutnya.

3.2 Bentuk normal Smith

Definisi 3.7

Dua matriks $B, C \in M_{n,k}(A)$ disebut ekuivalen jika $C = QBP$ dengan $Q \in GL_n(A)$ , $P \in GL_k(A)$ (yang terbalikkan atas $A$ : determinannya di $A^\times$ ). Matriks penyajian yang ekuivalen mendefinisikan modul $A^n/ \operatorname{im}$ yang isomorfik (ganti basis di $A^n$ dan $A^k$ ).

Teorema 3.8 (Bentuk normal Smith)

Misalkan $A$ sebuah DIU dan $B \in M_{n,k}(A)$ . Maka $B$ ekuivalen dengan sebuah matriks diagonal

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

dan $d_i$ tunggal sampai pada kesekawanan: $d_1 \cdots d_i$ merupakan FPB semua minor $i \times i$ dari $B$ (khususnya FPB itu merupakan invarian keekuivalenan). Bilangan $d_i$ disebut faktor invarian dari $B$ .

Bukti. Keberadaan. Jika $B = 0$ , selesai. Jika tidak, tinjau himpunan ideal $(b)$ yang dibangun oleh entri matriks yang ekuivalen dengan $B$ ; karena $A$ bersifat Noether, pilihlah matriks $B'$ yang ekuivalen dengan $B$ dan sebuah entri $d$ dari $B'$ dengan $(d)$ maksimal di himpunan itu. Pindahkan $d$ ke posisi $(1,1)$ lewat penukaran baris dan kolom.

Klaim: $d$ membagi setiap entri $B'$ . Pertama, kolom 1: jika $b_{i1}$ bukan kelipatan $d$ , misalkan $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), sehingga $(e) \supsetneq (d)$ . Muslihat matriks $2 \times 2$ : bekerja pada baris $1$ dan $i$ dengan

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

menghasilkan matriks ekuivalen dengan entri $e$ pada posisi $(1,1)$ : dan ini bertentangan dengan kemaksimalan $(d)$ . Jadi $d$ membagi kolom $1$ , dan secara simetris juga baris $1$ . Mengurangkan kelipatan baris 1 dan kolom 1 membersihkan keduanya: jadi $B'$ ekuivalen dengan $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . Selanjutnya, $d$ membagi setiap entri $b$ dari $B''$ : tambahkan baris tempat $b$ berada pada baris 1 (sebuah operasi elementer; baris pertama yang baru memuat $d$ dan entri $b$ ), lalu ulangi argumen pembersihan kolomnya: entri yang bukan kelipatannya akan kembali memperbaiki $(d)$ . Sekarang berinduksilah pada ukurannya: $B''$ , yang semua entrinya habis dibagi $d$ , mempunyai bentuk Smith $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ yang entrinya tetap habis dibagi $d$ (setiap entri sembarang $QB''P$ merupakan kombinasi- $A$ dari entri $B''$ ); tetapkan $d_1 = d$ .

Ketunggalan. Misalkan $D_i(B)$ melambangkan FPB semua minor $i \times i$ . Operasi baris dan kolom, dan lebih umum lagi perkalian dengan sembarang matriks, tak dapat memperkecil FPB itu: sebab minor $i \times i$ dari $QB$ merupakan kombinasi- $A$ dari minor $B$ (penjabaran Cauchy–Binet; atau secara langsung: setiap baris $QB$ merupakan kombinasi baris $B$ , dan minor bersifat multilinear terhadap barisnya). Jadi $D_i(QBP)$ dan $D_i(B)$ saling membagi: dengan kata lain $D_i$ merupakan invarian keekuivalenan. Pada bentuk diagonalnya, minor $i \times i$ yang tak nol berupa hasil kali $i$ buah $d_j$ , dan keterbagian $d_1 \mid \dots \mid d_r$ menjadikan $d_1 \cdots d_i$ sebagai FPB-nya. Karena itu $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ sampai pada unit, dan $d_i = D_i/D_{i-1}$ tertentu. ∎

Metode 3.9

Atas daerah Euclid ( $\Z$ , $K[X]$ ), reduksi Smith merupakan sebuah algoritma — tanpa perlu argumen kemaksimalan: bawalah entri dengan ukuran Euclid terkecil ke posisi $(1,1)$ ; jika ia tak membagi suatu entri pada baris atau kolomnya, pembagian Euclid meninggalkan sisa yang lebih kecil di sana — tukarkan sisa itu ke posisi itu lalu mulai lagi (prosesnya berhenti karena ukurannya menurun); bila ia sudah membagi seluruh baris dan kolomnya, bersihkan keduanya; jika ia tak membagi entri di dalam, tambahkan baris itu pada baris $1$ lalu mulai lagi; kemudian rekursi pada blok dalamnya. Dalam praktik pada matriks bulat: hitunglah $D_1 = \gcd$ entrinya, lalu $D_2$ , … lewat minor untuk ukuran kecil, atau jalankan algoritmanya.

Contoh 3.10 (Sebuah reduksi Smith, selengkapnya)

Reduksikan $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ atas $\Z$ . Sudutnya, yaitu $1$ , membagi segalanya: bersihkan baris dan kolomnya ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , lalu $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

Pada blok dalamnya, sudutnya $-3$ membagi semua entri: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ dan $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ membersihkannya menjadi $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . Setelah tandanya disesuaikan (kalikan sebuah baris dengan $-1$ , sebuah operasi yang sah):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Periksa silang lewat pembagi determinan: $D_1 = \gcd(\text{entri}) = 1$ ; setiap minor $2\times2$ dari $M$ merupakan kelipatan $3$ (misalnya $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) dan salah satunya sama dengan $-3$ : jadi $D_2 = 3$ ; dan $D_3 = \det M = 0$ . Karena itu $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : jawaban yang sama. Dua pelajarannya: faktor invarian yang nol merekam turunnya rank (kokernelnya memperoleh suku bebas $\Z$ ), dan rantai keterbagian $1 \mid 3 \mid 0$ merupakan sertifikat Smith — reduksi diagonal yang melanggar rantai itu (katakanlah $\operatorname{diag}(2, 3)$ , yang bisa dihasilkan oleh yang ceroboh dari $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ karena berhenti terlalu dini: bentuk Smith yang benar adalah $\operatorname{diag}(1, 6)$ , sebab di sini $D_1 = 1$ !) belumlah selesai.

Subkisi L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) dari ℤ2 (titik merah). Bentuk normal Smith dari ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) adalah diag(1, 6): pada basis tersesuaikan f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) dari ℤ2, berlaku L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, sehingga ℤ2/L ℤ/6ℤ — indeksnya sama dengan | | = 6, yaitu luas daerah fundamental yang diarsir. — Subkisi $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ dari $\Z^2$ (titik merah). Bentuk normal Smith dari $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ adalah $\operatorname{diag}(1, 6)$ : pada basis tersesuaikan $f_1 = (1,3)$ , $f_2 = (0,1)$ dari $\Z^2$ , berlaku $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ , sehingga $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — indeksnya sama dengan $\abs{\det} = 6$ , yaitu luas daerah fundamental yang diarsir.

3.3 Teorema struktur

Definisi 3.11

Misalkan $A$ daerah integral dan $M$ sebuah modul- $A$ . Submodul torsi adalah

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ untuk suatu } a \neq 0\}

(sebuah submodul: jika $ax = by = 0$ maka $ab(x + y) = 0$ dengan $ab \ne 0$ ). Modul $M$ disebut bebas torsi jika $T(M) = 0$ , dan modul torsi jika $T(M) = M$ .

Teorema 3.12 (Struktur modul yang dibangun secara berhingga atas sebuah DIU)

Misalkan $A$ sebuah DIU dan $M$ modul- $A$ yang dibangun secara berhingga. Terdapat tepat satu $r \in \N$ dan unsur tak nol bukan unit $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ , tunggal sampai pada kesekawanan, dengan

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

Lebih lanjut $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ dan $M/T(M) \cong A^r$ : jadi modul bebas torsi yang dibangun secara berhingga atas DIU pastilah bebas.

Bukti. Keberadaan. Sajikan $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (Catatan 3.6) lalu bawalah $C$ ke bentuk Smith: setelah kedua pergantian basis, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . Buanglah suku yang $d_i$ -nya berupa unit (sebab $A/(d_i) = 0$ ); rantai keterbagiannya tetap bertahan.

Pengenalan torsinya. Pada penguraian itu, $A^r$ bersifat bebas torsi (daerah integral tak punya pembagi nol) dan setiap $A/(d_i)$ bersifat torsi (dimatikan oleh $d_i \ne 0$ ); jumlah langsung memecah torsinya sejalan dengan itu: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ dan $M/T(M) \cong A^r$ .

Ketunggalan $r$ : $M/T(M) \cong A^r$ hanya bergantung pada $M$ , dan Proposisi 3.4 memakukan nilai $r$ .

Ketunggalan $d_i$ : cukup ditangani modul torsi $T = T(M)$ . Uraikan setiap $d_i$ atas unsur prima lalu pecahlah lewat teorema sisa Tiongkok (Teorema 2.9; unsur prima yang berbeda membangun ideal yang komaksimal):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

yaitu pembagi elementer $p^{k_{p,j}}$ . Sebaliknya $d_i$ dapat disusun ulang dari multihimpunan pembagi elementernya ( $d_s$ = hasil kali pangkat tertinggi setiap unsur prima, dan seterusnya), sehingga cukup dibuktikan bahwa multihimpunan $\{k_{p,j}\}_j$ ditentukan oleh $T$ untuk setiap unsur prima $p$ . Tetapkan $p$ ; untuk $j \geq 1$ tinjaulah ruang vektor- $A/(p)$ $p^{j-1}T/p^jT$ . Pada suku siklik $A/(p^k)$ :

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{jika } j \leq k,\\ 0 & \text{jika } j > k, \end{cases}

sedangkan pada suku $A/(q^k)$ dengan $q \neq p$ : perkalian dengan $p$ di sana bijektif ( $p$ terbalikkan modulo $q^k$ menurut Bézout), sehingga kuosiennya $0$ . Jumlah langsung meneruskan hal ini: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . Dimensi intrinsik ini menentukan multihimpunan eksponennya. ∎

Akibat 3.13 (Grup abelian yang dibangun secara berhingga)

Setiap grup abelian yang dibangun secara berhingga berbentuk $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ dengan $d_1 \mid \dots \mid d_s$ , secara tunggal. Setiap grup abelian berhingga merupakan hasil kali grup siklik yang berorde pangkat prima, tunggal sebagai multihimpunan.

Contoh 3.14

Grup abelian berorde $p^n$ bersesuaian dengan partisi dari $n$ : untuk $p^4$ ada $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ , $(\Z/p)^4$ — lima grup, sebab $4$ mempunyai lima partisi. Orde campuran mengalikan cacahannya prima demi prima (lewat sisa Tiongkok): jadi ada $5 \times 2$ grup abelian berorde $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 Terapan: bentuk kanonik endomorfisma

Misalkan $K$ sebuah lapangan, $V$ ruang vektor- $K$ berdimensi berhingga $n$ , dan $u \in \mathcal L(V)$ ; jadikan $V$ modul- $K[X]$ lewat $P \cdot x = P(u)(x)$ (Contoh 3.2). Modul ini dibangun secara berhingga (basis- $K$ membangunnya) dan bersifat torsi: untuk setiap $x$ , kesatuan $n+1$ vektor $x, u(x), \dots, u^n(x)$ bergantung secara linear atas $K$ , sehingga memberikan polinomial penghapus yang tak nol.

Definisi 3.15

Untuk $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ yang monik, matriks pendamping adalah

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

yaitu matriks “perkalian dengan $X$ ” pada $K[X]/(P)$ dalam basis $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

Teorema 3.16 (Frobenius: bentuk kanonik rasional)

Ada tepat satu barisan polinomial monik tak konstan $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (yaitu invarian keserupaan dari $u$ ) sedemikian sehingga, sebagai modul- $K[X]$ ,

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

dalam sebuah basis yang sesuai, $u$ mempunyai matriks diagonal blok $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . Lebih lanjut:

$P_s = \mu_u$ (polinomial minimal) dan $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (polinomial karakteristik); khususnya $\mu_u \mid \chi_u$ (Cayley–Hamilton yang dibuktikan ulang) dan $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , sehingga $\chi_u$ dan $\mu_u$ mempunyai faktor tak tereduksi yang sama.
Dua endomorfisma (atau dua matriks persegi) serupa jika dan hanya jika invarian keserupaannya sama.

Bukti. Teorema struktur (Teorema 3.12) yang diterapkan pada DIU $K[X]$ : modul torsi $V$ terurai dengan faktor invarian $P_i$ , yang dinormalkan menjadi monik (sebab unit $K[X]$ adalah $K^\times$ ); tak ada bagian bebas yang muncul (sebab $V$ bersifat torsi). Pada setiap suku siklik $K[X]/(P_i)$ , perkalian dengan $X$ bermatriks $C_{P_i}$ dalam basis pangkat $\bar X$ : menyambung basisnya memberikan bentuk bloknya.

(1) Anihilator $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ adalah $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (karena rantai keterbagiannya: $P_s$ merupakan kelipatan persekutuan, dan kelas $1$ pada suku terakhir dimatikan tepat oleh $(P_s)$ ): jadi $\mu_u = P_s$ . Untuk $\chi_u$ : pada suku siklik berlaku $\chi_{C_P} = P$ , lewat induksi pada $m = \deg P$ . Menjabarkan $\det(XI_m - C_P)$ sepanjang baris pertama (yang entrinya $X$ , lalu nol, lalu $a_0$ di kolom terakhir):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

dengan $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (berbentuk sama, satu ukuran lebih kecil) dan $L$ segitiga dengan diagonal $(-1, \dots, -1)$ , sehingga $\det L = (-1)^{m-1}$ . Menurut induksi, suku pertamanya $X\tilde P$ dan suku keduanya $a_0$ : totalnya $X\tilde P + a_0 = P$ (kasus dasar $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). Determinan berkalian atas bloknya: $\chi_u = \prod P_i$ . Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$ sebab $P_s \mid$ setiap… sebaliknya setiap $P_i \mid P_s$ , sehingga $\chi_u = \prod P_i$ membagi $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; dan $\mu_u = P_s$ membagi $\chi_u$ sebagai salah satu faktornya.

(2) Endomorfisma yang serupa berarti struktur modul yang sekawan, sehingga invariannya sama (menurut ketunggalan pada Teorema 3.12); sebaliknya invarian yang sama memberikan modul- $K[X]$ yang isomorfik, dan isomorfisma modul tidak lain adalah bijeksi linear yang menganyam kedua endomorfismanya: yakni sebuah keserupaan. ∎

Akibat 3.17 (Keserupaan tak terpengaruh perluasan lapangan)

Misalkan $K \subseteq L$ dua lapangan dan $M, N \in M_n(K)$ . Jika $M$ dan $N$ serupa atas $L$ , maka keduanya serupa atas $K$ .

Bukti. Invarian keserupaan $M$ dihitung lewat rumus minor Smith (Teorema 3.8) yang diterapkan pada matriks penyajian $XI_n - M$ atas $K[X]$ — memang modul- $K[X]$ $V_M = K^n$ mempunyai penyajian $XI_n - M$ : pemetaan $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , surjektif dengan kernel yang dibangun oleh kolom $XI_n - M$ (lewat pemeriksaan langsung: modulo kolom-kolom itu, setiap unsur $K[X]^n$ tereduksi menjadi vektor konstan, dan vektor konstan terpetakan secara bijektif; soal akhir pekan menguraikannya). FPB polinomial tidak berubah di bawah perluasan lapangan: jika $d$ merupakan FPB monik di $K[X]$ dari keluarga $(f_j)$ , maka Bézout memberikan $d = \sum u_jf_j$ dengan $u_j \in K[X]$ , sehingga setiap pembagi persekutuan $f_j$ di $L[X]$ membagi $d$ ; dan karena $d$ sendiri pembagi persekutuan, ia juga FPB di $L[X]$ . Karena itu faktor invarian $XI_n - M$ , yang berupa hasil bagi FPB minor berturutan, sama atas $K$ maupun atas $L$ : jadi $M, N$ mempunyai invarian keserupaan yang sama atas $L$ jika dan hanya jika demikian atas $K$ ; simpulkan dengan Teorema 3.16(2). ∎

Teorema 3.18 (Bentuk Jordan, diturunkan ulang)

Andaikan $\chi_u$ terpecah atas $K$ (misalnya $K = \C$ ). Dengan menerapkan penguraian atas pembagi elementer pada $V$ (lihat bukti Teorema 3.12) alih-alih faktor invarian:

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

dan dalam basis $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ pada setiap sukunya, $u$ bekerja sebagai blok Jordan $J_k(\lambda)$ : jadi setiap endomorfisma dengan polinomial karakteristik yang terpecah mempunyai basis Jordan, dan multihimpunan bloknya $(\lambda, k)$ bersifat tunggal.

Bukti. Pembagi elementer modul torsi $V$ adalah $(X - \lambda)^k$ dengan $X - \lambda$ menjelajahi faktor tak tereduksi $\mu_u$ (yang terpecah, sebab $\chi_u$ terpecah dan keduanya mempunyai faktor tak tereduksi yang sama, Teorema 3.16). Di $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ , tetapkan $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ untuk $j = 1, \dots, k$ : maka $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (dengan $f_0 = 0$ ), yakni $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : jadi matriks $u$ pada $(f_1, \dots, f_k)$ tepat berupa $J_k(\lambda)$ (dengan angka satu di atas diagonalnya). Ketunggalan multihimpunan pembagi elementernya adalah Teorema 3.12. ∎

Catatan 3.19

Hierarki bentuk kanoniknya kini menjadi jelas: bentuk rasional ada atas setiap lapangan dan mendeteksi keserupaan secara mutlak (Akibat 3.17); sedangkan bentuk Jordan merupakan penghalusannya bila $\chi_u$ terpecah. Bukti teorema Jordan pada Tahun ke-2 yang bersandar pada pencacahan dimensi kini tercakup: seluruh kombinatorikanya ternyata aritmetika DIU $K[X]$ .

3.5 Latihan

Latihan 3.1 ★

(a) Tunjukkan bahwa $\Q$ tidak dibangun secara berhingga sebagai modul- $\Z$ . (b) Tunjukkan bahwa $\Q$ bebas torsi tetapi tidak bebas. (c) Mengapa kedua pernyataan itu tidak bertentangan dengan Teorema 3.12?

Solusi

Solusi Latihan 3.1.

(a) Jika $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ , misalkan $d$ sebuah penyebut persekutuan dari $q_i$ : setiap kombinasinya terletak di $\frac1d\Z$ , padahal $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . Kontradiksi.

(b) Bebas torsi: $nq = 0$ dengan $n \neq 0$ memaksa $q = 0$ di $\Q$ . Tidak bebas: dua bilangan rasional tak nol $\frac ab, \frac cd$ mana pun memenuhi relasi tak trivial $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ , sehingga basisnya beranggota paling banyak satu unsur; sedangkan $\Q \cong \Z$ akan membuat $\Q = \Z q$ siklik, padahal $\frac q2 \notin \Z q$ . (Dan $\Q \neq 0$ .)

(c) Teorema 3.12 mengandaikan pembangunan berhingga, dan (a) menyangkalnya: jadi tak ada kontradiksi — sebaliknya, $\Q$ menunjukkan bahwa hipotesis itu diperlukan pada pernyataan “bebas torsi $\Rightarrow$ bebas”.

Latihan 3.2 ★

Daftarkan semua grup abelian berorde $360$ sampai isomorfisma, baik dalam bentuk pembagi elementer maupun faktor invarian. Ada berapa grup abelian berorde $p^5$ ?

Solusi

Solusi Latihan 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . Partisinya: untuk $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; untuk $2$ : $(2), (1,1)$ ; untuk $1$ : $(1)$ . Karena itu ada $3 \times 2 \times 1 = 6$ grup. Pembagi elementer $\to$ faktor invarian:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(Untuk beralih ke faktor invarian: $d_s$ yang terbesar mengumpulkan pangkat prima tertinggi dari setiap unsur prima, dan seterusnya ke bawah.) Yang berorde $p^5$ : sebanyak partisi dari $5$ , yakni $7$ .

Latihan 3.3 ★

Hitunglah bentuk normal Smith atas $\Z$ dari

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

lalu kenali grup abelian $\Z^2/B\Z^2$ dan $\Z^3/C\Z^3$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.3.

$B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . Faktor invariannya $d_1 = 2$ , $d_2 = 8/2 = 4$ : jadi bentuk Smithnya $\operatorname{diag}(2, 4)$ , dan $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

$C$ : diagonal tetapi bukan bentuk Smith (sebab $2 \nmid 3$ ). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ . Jadi $d = (1, 6, 12)$ dan $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — sejalan dengan sisa Tiongkok: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

Latihan 3.4 ★★

Misalkan $L \subseteq \Z^n$ sebuah subgrup berrank $n$ yang basisnya berupa kolom $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ . Tunjukkan bahwa $\Z^n/L$ berhingga dengan kardinalitas $\abs{\det B}$ , dan bahwa $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ untuk faktor invarian $d_i$ dari $B$ . Berilah gambaran dengan $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.4.

Tulis $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ dengan $Q, P \in GL_n(\Z)$ (Teorema 3.8; tak ada $d_i$ yang nol sebab $\det B \neq 0$ ). Maka $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (sebab isomorfisma komposisi $x \mapsto Q^{-1}x$ dari $\Z^n$ memetakan $B\Z^n$ pada $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ ). Kardinalitasnya $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ , sebab $\det Q, \det P = \pm 1$ . Untuk $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ , $D_1 = 1$ , $D_2 = 6$ : jadi $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , berkardinalitas $\abs{\det B} = 6$ .

Latihan 3.5 ★★

Misalkan $A$ daerah integral. (a) Periksalah bahwa $T(M)$ submodul dan bahwa $M/T(M)$ bebas torsi. (b) Tunjukkan bahwa ideal $(X, Y)$ dari $K[X,Y]$ , sebagai modul- $K[X,Y]$ , bebas torsi tetapi tidak bebas: jadi teorema struktur memang sungguh memerlukan hipotesis DIU.

Solusi

Solusi Latihan 3.5.

(a) Submodul: sudah dikerjakan pada Definisi 3.11. Jika $a(x + T(M)) = 0$ di $M/T(M)$ dengan $a \neq 0$ , maka $ax \in T(M)$ : jadi $bax = 0$ untuk suatu $b \neq 0$ , dan $ba \neq 0$ (di daerah integral), sehingga $x \in T(M)$ : kelasnya nol. Jadi $M/T(M)$ bebas torsi.

(b) Ideal $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ bebas torsi (sebagai submodul dari daerah integral $K[X,Y]$ yang bekerja pada dirinya sendiri). Andaikan ia bebas; dua unsur $P, Q$ mana pun memenuhi $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ , sebuah relasi tak trivial bila $P \ne Q$ tak nol, sehingga basisnya beranggota satu unsur: jadi $(X, Y) = (P)$ berupa ideal utama — bertentangan dengan Latihan 2.6(a). Bebas torsi dan dibangun secara berhingga (sebab $X, Y$ membangunnya), namun tidak bebas: atas $K[X,Y]$ yang bukan DIU, teorema strukturnya gagal.

Latihan 3.6 ★★

(a) Tunjukkan bahwa $2\Z$ tak punya komplemen langsung di dalam modul- $\Z$ $\Z$ : submodul dari modul bebas memang bebas (Teorema 3.5), tetapi belum tentu menjadi suku langsung. (b) Tunjukkan bahwa jika $M \subseteq A^n$ (dengan $A$ sebuah DIU) memenuhi: $A^n/M$ bebas torsi, maka $M$ memang suku langsung.

Solusi

Solusi Latihan 3.6.

(a) Jika $\Z = 2\Z \oplus C$ , proyeksi $\Z \to \Z/2\Z$ terbatas menjadi isomorfisma $C \cong \Z/2\Z$ : jadi $C$ akan menjadi subgrup $\Z$ yang unsur tak nolnya $x$ memenuhi $2x \in C \cap 2\Z = 0$ . Padahal $\Z$ bebas torsi: sehingga $C = 0$ , dan itu memaksa $\Z = 2\Z$ — salah.

(b) Modul $A^n/M$ dibangun secara berhingga dan bebas torsi, sehingga bebas (Teorema 3.12): $A^n/M \cong A^r$ dengan basis $f_1, \dots, f_r$ . Pilihlah prapeta $y_i \in A^n$ dari $f_i$ lalu tetapkan $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . Setiap $x \in A^n$ mempunyai $\pi(x) = \sum a_if_i$ , sehingga $x - \sum a_iy_i \in M$ : jadi $A^n = M + F$ . Jika $\sum a_iy_i \in M$ , menerapkan $\pi$ memberikan $\sum a_if_i = 0$ , sehingga semua $a_i = 0$ (karena basis): $M \cap F = 0$ . Jadi $A^n = M \oplus F$ .

Latihan 3.7 ★★

Selesaikan di $\Z^2$ sistem

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

lalu tentukan untuk pasangan $(b_1, b_2)$ yang mana penyelesaian itu ada, dengan memakai bentuk Smith pada Latihan 3.3 (penggantian variabel yang terbalikkan di kedua ruas).

Solusi

Solusi Latihan 3.7.

Reduksi pada Latihan 3.3 bersifat efektif: dengan

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(operasi baris $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ , lalu operasi kolom $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ dan $C_2 \leftarrow -C_2$ ). Dengan menetapkan $y = R^{-1}x$ (sebuah bijeksi $(\Z/20\Z)^2$ , karena $R$ terbalikkan atas $\Z$ ), sistem $Bx \equiv b \pmod{20}$ menjadi ekuivalen dengan

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

Kekongruenan $ky \equiv c \pmod{20}$ terselesaikan jika dan hanya jika $\gcd(k, 20) \mid c$ : jadi penyelesaian ada jika dan hanya jika $2 \mid b_1$ dan $4 \mid b_2 - 3b_1$ , yakni $b_1$ genap dan $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ . Bila terselesaikan, ada $2 \times 4 = 8$ penyelesaian modulo $20$ .

Latihan 3.8 ★★

(a) Tentukan semua invarian keserupaan dan bentuk Jordan yang mungkin bagi matriks nilpoten $4 \times 4$ , dipilah menurut partisi $4$ yang diwujudkannya. (b) Tampilkan dua matriks kompleks $4\times4$ dengan polinomial karakteristik dan polinomial minimal yang sama tetapi tidak serupa, lalu buktikan bahwa untuk $n \leq 3$ hal itu tak mungkin terjadi.

Solusi

Solusi Latihan 3.8.

(a) Endomorfisma nilpoten $u$ mempunyai $\mu_u = X^k$ ; pembagi elementernya adalah $X^{k_1} \geq \dots$ , dengan satu blok Jordan $J_{k_i}(0)$ per bagian dari sebuah partisi $4$ :

partisi	bentuk Jordan	faktor invarian
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(b) Ambil $u = J_2\oplus J_2$ dan $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : keduanya mempunyai $\chi = X^4$ , $\mu = X^2$ , tetapi faktor invariannya berbeda — jadi tidak serupa (Teorema 3.16); kita juga dapat membandingkan ranknya: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ . Untuk $n \leq 3$ : $\chi$ dan $\mu$ menentukan, untuk setiap nilai eigen $\lambda$ (atas sebuah lapangan pemecah), ukuran total $m_\lambda \leq 3$ dari blok- $\lambda$ beserta blok terbesarnya $r_\lambda$ ; dan partisi $m \leq 3$ ditentukan oleh bagian terbesarnya ( $m = 3, r = 2$ memaksa $(2,1)$ , dan seterusnya). Jadi pembagi elementernya berimpit, dan Akibat 3.17 menurunkan keserupaannya ke lapangan dasarnya.

Latihan 3.9 ★★★

Misalkan $u \in \mathcal L(V)$ , $\dim V = n$ . Tunjukkan bahwa berikut ini saling ekuivalen: (i) $V$ merupakan modul- $K[X]$ siklik (ada $x$ dengan $V = K[u]x$ , yaitu sebuah vektor siklik); (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ pada Teorema 3.16. Simpulkan bahwa matriks pendamping mempunyai vektor siklik, lalu tentukan kapan matriks diagonal mempunyainya.

Solusi

Solusi Latihan 3.9.

(i) $\Rightarrow$ (ii): jika $V = K[u]x$ , maka $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ , dan $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (sebab sebuah polinomial mematikan $x$ jika dan hanya jika ia mematikan seluruh $V = K[u]x$ , karena $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ ). Jadi $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; dan karena $\mu_u \mid \chi_u$ serta $\deg\chi_u = n$ , kemonikan memberikan $\mu_u = \chi_u$ .

(ii) $\Rightarrow$ (iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ dan $\mu_u = P_s$ (Teorema 3.16); kesamaan derajatnya memaksa $s = 1$ .

(iii) $\Rightarrow$ (i): $V \cong K[X]/(P_1)$ bersifat siklik, dibangun oleh prapeta $\bar 1$ .

Matriks pendamping merupakan kasus $V = K[X]/(P)$ itu sendiri: $x = \bar 1$ , yakni $e_1$ , bersifat siklik. Untuk matriks diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ : $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ , $\mu = \prod_{\lambda \text{ berbeda}} (X - \lambda)$ ; keduanya bersesuaian jika dan hanya jika $\lambda_i$ berbeda berpasangan: jadi matriks diagonal mempunyai vektor siklik jika dan hanya jika entri diagonalnya berbeda berpasangan (lalu $x = (1, \dots, 1)$ berlaku, lewat Vandermonde).

Latihan 3.10 ★★★

Untuk $M \in M_n(\Z)$ yang dipandang sebagai endomorfisma $\Z^n$ , buktikan rumus indeksnya: jika $\det M \ne 0$ , maka $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ , lalu simpulkan bahwa $M \in GL_n(\Z)$ jika dan hanya jika $\det M = \pm 1$ . Terapannya: grup $\Z^2$ mempunyai tepat $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ subgrup berindeks $m$ . (Cacahlah matriks dalam bentuk Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ , $ad = m$ , $0 \leq b < d$ .)

Solusi

Solusi Latihan 3.10.

Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ; lalu Latihan 3.4 memberikan $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ . Jika $\det M = \pm 1$ : rumus adjugat $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ berentri bulat, sehingga $M \in GL_n(\Z)$ ; sebaliknya $MM^{-1} = I$ memberikan $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ di $\Z$ , jadi $\det M = \pm1$ .

Subgrup berindeks $m$ di $\Z^2$ : subgrup $L$ semacam itu berrank $2$ (karena indeksnya berhingga) dan mempunyai basis tunggal dalam bentuk normal Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : di sini $d$ dicirikan oleh $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ , $a$ oleh $\pi_1(L) = a\Z$ (koordinat pertamanya), dan $b$ lalu tunggal modulo $d$ ; normalkan $a, d > 0$ dan $0 \leq b < d$ . Indeksnya $ad = m$ . Pencacahannya: untuk setiap pembagi $d \mid m$ (dengan $a = m/d$ ), ada $d$ pilihan $b$ : totalnya $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

Latihan 3.11 ★★

(Persamaan $x^k = e$ di dalam grup abelian) Misalkan $G$ grup abelian berhingga dengan faktor invarian $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) Tunjukkan bahwa untuk setiap $k \geq 1$ ,

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) Simpulkan: grup abelian berhingga bersifat siklik jika dan hanya jika untuk setiap $k$ , persamaan $x^k = e$ mempunyai paling banyak $k$ penyelesaian. (c) Peroleh kembali kesiklikan subgrup berhingga dari $K^\times$ (dengan $K$ sebuah lapangan, Bab 4): mengapa polinomial $X^k - 1$ menjamin kriteria pada (b)?

Solusi

Solusi Latihan 3.11.

(a) Menurut teorema struktur, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ , dan $x^k = e$ terurai koordinat demi koordinat. Di $\Z/d\Z$ : $kx \equiv 0 \pmod d$ mempunyai tepat $\gcd(k, d)$ penyelesaian (sebab $x$ haruslah kelipatan $d/\gcd(k,d)$ , dan ada $\gcd(k, d)$ buah di antaranya). Lalu kalikan atas semua sukunya.

(b) Jika $G = \Z/d_s\Z$ siklik ( $s = 1$ ), cacahannya $\gcd(k, d_s) \leq k$ . Jika $s \geq 2$ : ambil $k = d_1$ ; cacahannya $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (sebab setiap $\gcd$ sama dengan $d_1$ menurut rantai keterbagiannya): jadi persamaan $x^{d_1} = e$ mempunyai lebih dari $d_1$ penyelesaian.

(c) Di dalam sebuah lapangan, $X^k - 1$ berakar paling banyak $k$ (Bab 2: polinomial tak nol berderajat $k$ atas daerah integral), sehingga setiap subgrup berhingga $G \leq K^\times$ memenuhi kriteria (b): jadi $G$ siklik — inilah bukti struktural satu baris atas kesiklikan $\mathbb F_q^\times$ , yang melengkapi bukti pencacahan pada Bab 4.

Latihan 3.12 ★★★

(Matriks elementer membangun) (a) Tunjukkan bahwa $M \in M_n(\Z)$ terbalikkan di $M_n(\Z)$ jika dan hanya jika $\det M = \pm1$ . (b) Tunjukkan bahwa $SL_2(\Z)$ dibangun oleh dua matriks elementer $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ dan $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (Jalankan algoritma Euclid pada kolom pertama $M \in SL_2(\Z)$ lewat perkalian kiri dengan pangkat $E, F$ , hingga mencapai $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ; selesaikan sisanya dengan tangan — perhatikan bahwa $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) Jelaskan kaitannya dengan reduksi Smith: atas $\Z$ , operasi baris dan kolom berdeterminan $1$ sudah cukup untuk mendiagonalkan, sampai pada tandanya.

Solusi

Solusi Latihan 3.12.

(a) Jika $MN = I$ dengan $N$ bulat: $\det M\det N = 1$ dengan keduanya bilangan bulat, sehingga $\det M = \pm1$ . Sebaliknya jika $\det M = \pm1$ , rumus kofaktor $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ berentri bulat.

(b) Perkalian kiri dengan $E^{-k}$ mengurangkan $k$ kali baris $2$ dari baris $1$ ; sedangkan dengan $F^{-k}$ , $k$ kali baris $1$ dari baris $2$ . Diberikan $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ , kolom pertamanya $(a, c)$ merupakan vektor unimodular (sebab $\gcd(a, c) = 1$ : ia membagi $\det M = 1$ ). Jalankan algoritma Euclid pada $(a, c)$ lewat operasi baris tersebut: setelah berhingga langkah kolomnya menjadi $(\pm1, 0)$ . Matriksnya kini berupa $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (determinannya tetap $1$ ). Tersisa menuliskan $-I$ dalam pembangunnya: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (periksalah kuadrat matriks rotasi itu). Setelah diurai, $M$ merupakan kata dalam $E^{\pm1}, F^{\pm1}$ .

(c) Algoritma Smith (Metode 3.9) memakai persis operasi baris dan kolom semacam itu (ditambah penukaran dan pergantian tanda, yang juga hasil kali operasi elementer sampai pada tanda determinannya): jadi atas $\Z$ , setiap matriks berbentuk $U\,D\,V$ dengan $U, V$ hasil kali matriks elementer dan $D$ bentuk Smithnya — (b) adalah kasus $2\times2$ berdeterminan $1$ dari kenyataan umum bahwa matriks bertipe $E$ membangun $SL_n(\Z)$ .

3.6 Soal: komutan dan komutan ganda

Soal 3.1

Soal akhir pekan — bentuk rasional, komutan, bikomutan

Misalkan $K$ sebuah lapangan, $V$ ruang vektor- $K$ berdimensi $n \geq 1$ , dan $u \in \mathcal L(V)$ . Kita mempelajari komutan

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

yaitu subaljabar $\mathcal L(V)$ yang memuat $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ , lalu kita buktikan rumus dimensi Frobenius dan teorema komutan ganda: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Sepanjang soal ini, $V$ adalah modul- $K[X]$ yang didefinisikan oleh $u$ , dengan faktor invarian $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ dan penguraian siklik $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ , $n_i = \deg P_i$ (Teorema 3.16).

Bagian I — Matriks penyajian $XI - M$ , dan pemanasan.

Misalkan $M \in M_n(K)$ dan misalkan $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ mengirim $(Q_1, \dots, Q_n)$ ke $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Tunjukkan bahwa $\varphi$ merupakan morfisma surjektif antar modul- $K[X]$ dan bahwa setiap kolom $XI_n - M$ terletak di $\ker\varphi$ .
Tunjukkan bahwa, modulo kolom $XI_n - M$ , setiap unsur $K[X]^n$ kongruen dengan sebuah vektor konstan (turunkan derajatnya dengan memakai $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ ), lalu simpulkan $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : jadi modul $V_M$ bermatriks penyajian $XI_n - M$ . Peroleh kembali titik tolak Akibat 3.17: bahwa invarian keserupaan $M$ adalah faktor invarian $XI_n - M$ yang bukan unit.
Hitunglah invarian keserupaan dari: matriks skalar $\lambda I_n$ ; matriks diagonal dengan entri diagonal yang berbeda-beda; blok Jordan $n \times n$ $J_n(0)$ ; dan $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ untuk $n = 3$ .
Tunjukkan bahwa $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

Bagian II — Morfisma antar modul siklik.

Misalkan $P, Q$ monik dan tak konstan. Tunjukkan bahwa sebuah morfisma- $K[X]$ $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ ditentukan oleh $f(\bar 1)$ , dan bahwa $\bar c \in K[X]/(Q)$ dapat berperan sebagai $f(\bar 1)$ jika dan hanya jika $P\bar c = 0$ di $K[X]/(Q)$ .
Simpulkan

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

yang berdimensi $\deg \gcd(P, Q)$ atas $K$ . (Tunjukkan bahwa penyelesaian $\bar c$ dari $P\bar c = 0$ di $K[X]/(Q)$ membentuk submodul siklik yang dibangun oleh $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ .)
Buktikan rumus Frobenius:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(Sebuah $v$ yang komutatif tidak lain adalah endomorfisma- $K[X]$ dari $V$ ; uraikan $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ sebagai matriks morfisma $V_j \to V_i$ lalu pakailah rantai keterbagiannya.)
Simpulkan $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , dengan kesamaan jika dan hanya jika $u$ siklik ( $s = 1$ ), lalu hitunglah $\dim\mathcal C(u)$ untuk $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : keduanya ujung ekstrem rumus itu.
Periksalah rumus Frobenius secara langsung untuk $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ dengan menghitung komutannya secara eksplisit sebagai matriks $3\times3$ .

Bagian III — Teorema komutan ganda. Misalkan $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; kita buktikan $w \in K[u]$ .

Tunjukkan $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , dan bahwa setiap $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ komutatif dengan $u$ — jadi inklusi yang hendak dibuktikan, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , sungguh mempertajam $w \in \mathcal C(u)$ .
Andaikan lebih dahulu bahwa $u$ bersifat siklik, $V = K[u]x$ . Tunjukkan secara langsung bahwa $\mathcal C(u) = K[u]$ (masukkan sebuah $v$ yang komutatif pada $x$ : $v(x) = P(u)x$ untuk suatu $P$ , lalu bandingkan $v$ dengan $P(u)$ pada basis $u^k x$ ), lalu simpulkan teoremanya untuk kasus ini.
Kembali ke kasus umumnya. Untuk setiap $i$ , misalkan $\pi_i\colon V \to V_i$ proyeksi sepanjang suku lainnya. Tunjukkan $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , lalu simpulkan bahwa $w$ mempertahankan setiap $V_i$ dan komutatif dengan $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; simpulkan lewat pertanyaan 11 yang diterapkan pada $u_i$ yang siklik: ada polinomial $Q_i$ dengan $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
Tersisa merekatkan $Q_i$ menjadi satu polinomial. Untuk $i \leq j$ (sehingga $P_i \mid P_j$ ), tunjukkan bahwa $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , merupakan morfisma- $K[X]$ yang terdefinisi dengan baik (yang perlu diperiksa adalah bahwa $R(u)x_j = 0$ mengakibatkan $R(u)x_i = 0$ ), dan bahwa $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , yang diperluas dengan $0$ pada suku lainnya, terletak di $\mathcal C(u)$ .
Dengan memakai $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ , tunjukkan $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ untuk $i \leq j$ . Simpulkan bahwa $Q = Q_s$ memenuhi $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ untuk setiap $i$ , sehingga $w = Q(u)$ pada setiap $V_i$ , dan karenanya pada $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(Penutup) Simpulkan dari teorema itu: jika $v$ komutatif dengan setiap matriks yang komutatif dengan $u$ , dan $u$ siklik, maka $v$ merupakan polinomial dalam $u$ ; lalu berilah contoh yang menunjukkan bahwa $\mathcal C(u) = K[u]$ gagal untuk $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — di manakah tepatnya kesiklikan itu masuk?

Bagian IV — Hasil panen invarian keserupaan. Bentuk kanonik rasional adalah sebuah mesin; berikut lima keluarannya yang klasik.

(Transpos) Tunjukkan bahwa setiap $M \in M_n(K)$ serupa dengan transposnya ${}^tM$ . (Operasi yang membawa $XI - M$ ke bentuk Smith, setelah ditranspos, membawa $XI - {}^tM$ ke bentuk Smith yang sama: jadi invarian keserupaannya sama.)
(Penurunan keserupaan) Misalkan $K \subseteq L$ sebuah perluasan lapangan dan $M, N \in M_n(K)$ . Tunjukkan bahwa jika $M$ dan $N$ serupa atas $L$ , maka keduanya serupa atas $K$ . (Bentuk Smith $XI - M$ yang dihitung di $K[X]$ tetap merupakan bentuk Smith di $L[X]$ — mengapa faktor invariannya tidak berubah?) Akibat yang layak dihafal: dua matriks real yang sekawan di $GL_n(\C)$ juga sekawan di $GL_n(\R)$ .
(Klasifikasi nilpoten) Misalkan $u$ nilpoten. Tunjukkan bahwa banyaknya blok berukuran $\geq k$ pada penguraiannya atas blok Jordan nilpoten sama dengan $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , lalu simpulkan: kelas nilpoten di $M_n(K)$ , untuk lapangan $K$ apa pun, berkorespondensi satu-satu dengan partisi $n$ . Ada berapa kelas nilpoten di $M_5(K)$ ?
(Sepasang contoh konkret) Tentukan invarian keserupaan operator turunan $D\colon P \mapsto P'$ yang bekerja pada ruang $K_{n-1}[X]$ berisi polinomial berderajat $< n$ : (a) untuk $K = \Q$ ; (b) untuk $K = \mathbb F_p$ dengan $p < n$ (pada karakteristik $p$ berlaku $(X^p)' = 0$ : hitunglah $\ker D^k$ lalu pakailah pertanyaan 18).
(Kelas konjugasi $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Dengan memakai faktor invarian, tunjukkan bahwa setiap kelas $GL_2(\mathbb F_q)$ tepat berjenis salah satu dari empat berikut: pusat $aI$ ; dapat didiagonalkan dengan dua nilai eigen berbeda $a \neq b$ di $\mathbb F_q^\times$ ; tak semisederhana dengan polinomial minimal $(X - a)^2$ ; dan siklik dengan polinomial karakteristik yang tak tereduksi.
Cacahlah kelas pada setiap jenisnya lalu simpulkan: $GL_2(\mathbb F_q)$ mempunyai tepat $q^2 - 1$ kelas konjugasi. (Cacahlah polinomial kuadrat monik yang tak tereduksi atas $\mathbb F_q$ ; lalu pasangan tak terurut $\{a, b\}$ ; ingatlah bahwa keterbalikan membatasi suku konstannya.)
(Siklik itu generik) Tunjukkan bahwa $M \in M_2(\mathbb F_q)$ gagal menjadi siklik jika dan hanya jika $M$ skalar, lalu simpulkan bahwa matriks $2\times2$ acak seragam atas $\mathbb F_q$ bersifat siklik dengan peluang $1 - q^{-3}$ . Nyatakan heuristik serupa untuk $M_n$ dan $q$ besar (tanpa perlu bukti): matriks tak siklik itu langka — itulah sebabnya Bagian III Soal 3.1 baru memerlukan kerja sungguhan setelah melewati kasus generiknya.

Bagian V — Pelengkap.

(Pusat komutan) Tunjukkan bahwa pusat aljabar $\mathcal C(u)$ tepat sama dengan $K[u]$ (gabungkan kedua inklusi pada Bagian III). Simpulkan bahwa $\mathcal C(u)$ komutatif jika dan hanya jika $u$ siklik — sehingga kasus kesamaan pada pertanyaan 8 diperoleh kembali lewat jalur yang murni struktural.
(Dimensi mana yang muncul?) Simpulkan dari rumus Frobenius bahwa $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ untuk setiap $u$ . Lalu tentukan himpunan nilai persis yang diambil oleh $\dim \mathcal C(u)$ ketika $u$ menjelajahi $\mathcal L(V)$ dengan $\dim V = 4$ : tunjukkan bahwa himpunan itu $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ (cacahlah barisan derajat $n_1 \leq \dots \leq n_s$ yang berjumlah $4$ lalu wujudkan masing-masing lewat sebuah matriks nilpoten). Khususnya $12$ dan $14$ , meski berkeparitasan benar, tidak tercapai: jadi syarat keparitasan itu perlu tetapi tidak cukup.
(Persamaan kelas $GL_2(\mathbb F_3)$ ) Untuk $q = 3$ , hitunglah ukuran setiap kelas konjugasi pada pertanyaan 20 lewat orbit–stabilisator: sentralisator sebuah $M$ yang siklik di $GL_2(\mathbb F_q)$ adalah grup unit dari $K[M]$ (pertanyaan 11). Kenali $K[M]$ pada ketiga jenis yang bukan pusat, daftarkan ketiga polinomial kuadrat monik yang tak tereduksi atas $\mathbb F_3$ , lalu periksalah persamaan kelasnya

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

dengan $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ kelas, seperti diramalkan pertanyaan 21.

Solusi

Solusi Soal 3.1.

1. Pemetaan $\varphi$ aditif dan linear atas $K[X]$ : $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , sebab struktur modul $V_M$ adalah $X \cdot v = Mv$ . Ia surjektif: vektor konstan sudah memberikan seluruh $K^n$ . Kolom ke- $j$ dari $XI - M$ adalah $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ , yang petanya $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ .

2. Modulo kolom-kolomnya, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : jadi sembarang vektor polinomial tereduksi, lewat induksi pada derajat tertingginya, menjadi vektor konstan $c \in K^n$ . Jika vektor semula terletak di $\ker\varphi$ , maka $\varphi(c) = c = 0$ (pada vektor konstan, $\varphi$ berupa pengenalan $K^n = V_M$ ), sehingga vektor itu terletak di rentang kolomnya: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . Karena itu $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ , dan reduksi Smith atas $K[X]$ (semua faktor invariannya tak nol, sebab hasil kalinya $\det(XI - M) = \chi_M$ ) memberikan $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : yang $f_i$ tak konstan adalah invarian keserupaannya, yang dapat dihitung sebagai hasil bagi FPB minornya (Teorema 3.8).

3. Untuk $\lambda I_n$ : matriks $XI - \lambda I$ sudah berbentuk Smith: invariannya $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , sebanyak $n$ buah. Entri diagonal yang berbeda: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ dengan modulus yang komaksimal berpasangan, sehingga sisa Tiongkok memampatkannya menjadi satu modul siklik $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : satu invarian saja, yaitu $\chi$ . Untuk $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ memaksa satu invarian $X^n$ . Untuk $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : pembagi elementernya $X^2, X$ : jadi invariannya $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. Pemetaan $P \mapsto P(u)$ memetakan $K[X]$ pada $K[u]$ , dengan kernel $(\mu_u)$ menurut definisi polinomial minimal: jadi $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , berdimensi $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. Kelinearan atas $K[X]$ memaksa $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ . Kelas $\bar 1$ memenuhi $P \bar 1 = 0$ , sehingga $P f(\bar 1) = 0$ menjadi keharusan. Sebaliknya jika $P\bar c = 0$ , maka $f(\bar Q) = Q\bar c$ terdefinisi dengan baik (sebab $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ kelipatan $P\bar c = 0$ ) dan linear atas $K[X]$ .

6. Misalkan $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ , $Q = gQ'$ dengan $\gcd(P', Q') = 1$ . Di $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (menurut Euclid, sebab $\gcd(P', Q') = 1$ ). Jadi $\bar c$ yang diperbolehkan membentuk submodul yang dibangun oleh $\bar{Q'}$ , yang anihilatornya $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ : sehingga submodul itu $\cong K[X]/(g)$ . Bersama pertanyaan 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , yang berdimensi $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. Pemetaan $v$ komutatif dengan $u$ jika dan hanya jika $v$ komutatif dengan setiap $P(u)$ , yaitu jika dan hanya jika $v$ linear atas $K[X]$ : jadi $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . Dengan menuliskan morfisma $V = \bigoplus_j V_j$ sebagai matriks $(f_{ij})$ , $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (komposisikan dengan injeksi dan proyeksinya), pertanyaan 6 memberikan

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

dengan memakai rantai keterbagiannya ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) dan, untuk langkah terakhirnya, bahwa $\min(i,j) = k$ terjadi tepat pada $2(s - k) + 1$ pasangan $(i, j)$ .

8. Karena $2(s-k)+1 \geq 1$ , berlaku $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , dengan kesamaan jika dan hanya jika $s = 1$ , yakni jika dan hanya jika $u$ siklik (Latihan 3.9). Untuk $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : $s = n$ dan semua $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — benar, sebab $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. Lewat rumusnya: invariannya $(X, X^2)$ , jadi $s = 2$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 2$ : $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . Secara langsung: dalam basis $(e_1, e_2, e_3)$ dengan $u e_2 = e_1$ , $ue_1 = ue_3 = 0$ , menuliskan $Au = uA$ untuk $A = (a_{ij})$ melahirkan syarat $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ dan $a_{11} = a_{22}$ : jadi ada lima parameter bebas $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. Polinomial $P(u)$ komutatif dengan apa pun yang komutatif dengan $u$ (sebab ia jumlah pangkat $u$ ): jadi $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . Dan $u \in \mathcal C(u)$ , sehingga setiap $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ komutatif dengan $u$ .

11. Misalkan $V = K[u]x$ dan $v \in \mathcal C(u)$ . Tulis $v(x) = P(u)x$ (karena kesiklikan). Untuk $y = Q(u)x$ sembarang: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . Jadi $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$ . Lalu $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (komutatif dengan seluruh $K[u]$ sama saja dengan komutatif dengan $u$ ). Jadi teoremanya berlaku pada kasus siklik.

12. Proyeksi $\pi_i$ linear atas $K[X]$ (sebab penguraiannya jumlah langsung submodul), jadi $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , dan $w$ komutatif dengannya: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . Pembatasan $w_i = w\restriction_{V_i}$ komutatif dengan $u_i = u\restriction_{V_i}$ yang siklik (pertanyaan 10), dan $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (pertanyaan 11): jadi $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ untuk suatu $Q_i \in K[X]$ .

13. Keterdefinisian $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : jika $R(u)x_j = 0$ maka $P_j \mid R$ , dan $P_i \mid P_j$ memberikan $P_i \mid R$ , sehingga $R(u)x_i = 0$ (sebab $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). Lalu $\eta_{ij}$ linear atas $K[X]$ menurut konstruksinya, dan $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ merupakan komposisi morfisma- $K[X]$ $V \to V$ : jadi $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. Nilaikan $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ pada $x_j$ : ruas kirinya $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ; ruas kanannya $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . Karena itu $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : jadi $P_i \mid Q_i - Q_j$ untuk setiap $i \leq j$ . Khususnya, dengan $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , sehingga $Q(u)$ dan $Q_i(u)$ bersesuaian pada $V_i$ (yang dimatikan $P_i(u)$ ). Karena itu $w = Q(u)$ pada setiap $V_i$ , dan karenanya pada $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , lalu bersama pertanyaan 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. Pernyataan pertamanya adalah pertanyaan 10–14 (atau, untuk $u$ siklik, pertanyaan 11 saja). Untuk $u = \mathrm{id}$ dengan $n \geq 2$ : $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ berdimensi $n^2$ , sedangkan $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . Jadi $\mathcal C(u) = K[u]$ gagal telak; namun teorema bikomutannya tetap berlaku ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : pusat aljabar matriksnya adalah skalar). Kesiklikanlah yang membuat komutan tunggalnya sudah berupa polinomial; sedangkan komutan gandanya selalu berupa polinomial.

16. Jika $P(XI - M)Q = S$ merupakan reduksi Smith (dengan $P, Q$ terbalikkan atas $K[X]$ ), mentransposkannya memberikan ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : bentuk Smith yang sama, sehingga $XI - M$ dan $XI - {}^tM$ mempunyai faktor invarian yang sama, yakni $M$ dan ${}^tM$ mempunyai invarian keserupaan yang sama (Akibat 3.17): jadi keduanya serupa.

17. Invarian keserupaan $M$ atas $L$ adalah faktor invarian $XI - M$ di $L[X]$ . Sebuah reduksi Smith atas $XI - M$ di $K[X]$ — dengan $P, Q$ terbalikkan atas $K[X]$ , diagonal, dan memenuhi rantai keterbagian — juga merupakan reduksi Smith yang sah atas $L[X]$ (sebab $P, Q$ tetap terbalikkan: determinannya konstanta tak nol), dan faktor invarian yang monik bersifat tunggal: jadi faktor invarian yang dihitung atas $K$ dan atas $L$ berimpit. Karena itu $M \sim_L N$ jika dan hanya jika keduanya mempunyai faktor invarian yang sama, yaitu jika dan hanya jika $M \sim_K N$ . Khususnya matriks real yang sekawan atas $\C$ juga sekawan atas $\R$ — pernyataan yang kerap dibuktikan secara analitik (dengan mengkhususkan sebuah $P + \iu Q$ yang terbalikkan), di sini dibuktikan secara struktural.

18. Uraikan $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ atas blok Jordan nilpoten. Pada satu blok berukuran $m$ berlaku $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , sehingga $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ bila $m \geq k$ , dan $0$ bila tidak. Dengan menjumlahkan atas bloknya: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . Karena itu barisan ranknya menentukan multihimpunan $(m_t)$ — yaitu sebuah partisi $n$ — dan sebaliknya setiap partisi terwujudkan: jadi kelas nilpoten $\leftrightarrow$ partisi $n$ , atas lapangan apa pun. Untuk $M_5$ : ada $p(5) = 7$ kelas ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ ).

19. (a) Atas $\Q$ (atau lapangan berkarakteristik $0$ mana pun), $D^n = 0$ dan $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : jadi $D$ nilpoten berindeks $n$ pada ruang berdimensi $n$ , sehingga siklik dengan invarian tunggal $X^n$ (sebab $x = X^{n-1}$ membangunnya: turunan berulangnya merentang seluruh ruang). (b) Atas $\mathbb F_p$ dengan $p < n$ : $D^p = 0$ , sebab turunan ke- $p$ setiap monomial $X^m$ membawa faktor $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ , yaitu hasil kali $p$ bilangan bulat berurutan, sehingga $\equiv 0 \bmod p$ . Tulis $n = ap + r$ , $0 \leq r < p$ . Maka $\ker D^k$ direntang oleh monomial $X^m$ yang memenuhi $D^kX^m = 0$ ; dengan mencacah eksponen $m < n$ menurut sisanya modulo $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ untuk $0 \leq k \leq p$ , sehingga $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . Menurut pertanyaan 18, partisinya mempunyai $a$ blok berukuran tepat $p$ dan (bila $r > 0$ ) satu blok berukuran $r$ : jadi invarian keserupaannya $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . Karakteristik mengubah bentuk kanonik operator yang paling akrab dalam matematika.

20. Matriks $M \in GL_2$ mempunyai $s \in \{1, 2\}$ faktor invarian. Jika $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ (dengan $a \neq 0$ karena keterbalikan), yakni $M = aI$ , jadi berada di pusat. Jika $s = 1$ : $M$ siklik dengan polinomial karakteristik $=$ polinomial minimal $\chi$ berderajat $2$ , dan kelasnya bersesuaian dengan $\chi$ yang mungkin dengan $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ terpecah dengan akar berbeda $a \neq b$ (pendampingnya $\sim$ diagonal); $\chi = (X - a)^2$ (pendamping, tak semisederhana); dan $\chi$ tak tereduksi. Tepat satu jenis untuk masing-masing — sebab faktor invariannya merupakan invarian yang lengkap.

21. Di pusat: ada $q - 1$ pilihan $a$ . Nilai eigen terpecah yang berbeda: pasangan tak terurut $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ dengan $a \neq b$ : ada $\binom{q-1}2$ kelas. Berpolinomial minimal $(X-a)^2$ : ada $q - 1$ kelas. Polinomial kuadrat tak tereduksi dengan suku konstan tak nol: semua polinomial kuadrat tak tereduksi memenuhinya (sebab akarnya tak nol), dan ada $\frac{q^2 - q}2$ polinomial kuadrat monik yang tak tereduksi ( $q^2$ polinomial kuadrat monik dikurangi $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ yang terpecah). Totalnya:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. Jika $M$ tidak siklik, maka $s = 2$ dan $M$ berupa skalar (dikotomi pertanyaan 20 berlaku di $M_2$ , baik terbalikkan maupun tidak: dua faktor invarian berderajat $1$ dengan $P_1 \mid P_2$ dan $P_1 = P_2$ memaksa $M = aI$ ). Skalarnya berjumlah $q$ di antara $q^4$ matriks: jadi peluang kesiklikannya $1 - q^{-3}$ . Secara umum tempat kedudukan tak siklik di $M_n$ adalah tempat minor $(n-1)\times(n-1)$ dari $XI - M$ berbagi sebuah faktor — sebuah syarat aljabar sejati — sehingga proporsinya sekecil $O(1/q)$ untuk $q$ besar: matriks dengan $\chi = \mu$ adalah aturannya, dan argumen perekatan pada Bagian III merupakan harga yang dibayar untuk perkecualiannya.

23. Unsur pusat $\mathcal C(u)$ terletak di $\mathcal C(u)$ dan komutatif dengan setiap unsur $\mathcal C(u)$ , yakni terletak di $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (pertanyaan 14). Sebaliknya $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , dan setiap $P(u)$ komutatif dengan setiap $v \in \mathcal C(u)$ (sebab $v$ semacam itu komutatif dengan $u$ , sehingga dengan setiap pangkat $u$ ): jadi $K[u]$ berada di pusat $\mathcal C(u)$ . Karena itu $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Akibatnya $\mathcal C(u)$ komutatif jika dan hanya jika $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; dalam hal itu $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , sedangkan pertanyaan 8 memberikan $\dim\mathcal C(u) \geq n$ : sehingga $n_s = n$ dan $s = 1$ , yakni $u$ siklik. Sebaliknya, untuk $u$ siklik pertanyaan 11 memberikan $\mathcal C(u) = K[u]$ , yang komutatif. Secara struktural: sebuah aljabar matriks yang sama dengan pusatnya sendiri tidak lain adalah aljabar polinomial $K[u]$ dari sebuah $u$ yang siklik.

24. Setiap koefisien $2s - 2i + 1$ pada rumus Frobenius bernilai ganjil, sehingga

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

Untuk $n = 4$ , barisan derajat $n_1 \leq \dots \leq n_s$ yang mungkin bagi faktor invariannya, dengan jumlah $4$ , adalah $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ , $(1, 1, 1, 1)$ ; masing-masing terwujudkan, misalnya oleh matriks nilpoten dengan $P_i = X^{n_i}$ (rantai keterbagiannya berlaku otomatis). Rumus itu berturut-turut memberikan

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

Jadi himpunan nilainya $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : bilangan genap dengan keparitasan yang benar, tetapi $12$ dan $14$ tak pernah muncul — antara barisan yang hampir siklik dan $n^2$ milik skalar terdapat sebuah jurang.

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . Jenis pusat: $I$ dan $2I$ , dua kelas berukuran $1$ . Pada ketiga jenis lainnya $M$ bersifat siklik (pertanyaan 20), sehingga sentralisatornya di $GL_2$ adalah grup unsur terbalikkan dari $\mathcal C(M) = K[M]$ (pertanyaan 11), dan ukuran kelasnya $=48/\abs{K[M]^\times}$ menurut orbit–stabilisator. Nilai eigen terpecah yang berbeda: hanya pasangan $\{1, 2\}$ , jadi satu kelas; di sini $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (sisa Tiongkok pada $\chi = (X-1) (X-2)$ ), unitnya $2 \cdot 2 = 4$ , ukurannya $48/4 = 12$ . Berpolinomial minimal $(X - a)^2$ dengan $a \in \{1, 2\}$ : dua kelas; di sini $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , unitnya $q^2 - q = 6$ (sebab suku konstan unitnya $\neq 0$ setelah dipusatkan), ukurannya $48/6 = 8$ . Untuk $\chi$ tak tereduksi: polinomial kuadrat monik tak tereduksi atas $\mathbb F_3$ berjumlah $(9 - 3)/2 = 3$ , yakni

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(tanpa akar di $\mathbb F_3$ : periksalah $0, 1, 2$ ); jadi tiga kelas dengan $K[M] \cong \mathbb F_9$ , unitnya $q^2 - 1 = 8$ , ukurannya $48/8 = 6$ . Persamaan kelasnya: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; dan ada $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ kelas, cocok dengan pertanyaan 21.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium