O que é módulo finitamente gerado?

Exemplo 3.10 (Uma redução de Smith, por extenso)

Reduza $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sobre $\Z$. O canto $1$ divide tudo: anule sua linha e sua coluna ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ e, em seguida, $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$):

No bloco interno, o canto $-3$ divide todas as entradas: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ e $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ o anulam até $\operatorname{diag}(-3, 0)$. Ajustando os sinais (multiplique uma linha por $-1$, operação legítima):

Confira pelos divisores determinantais: $D_1 = \gcd(\text{entradas}) = 1$; todo menor $2\times2$ de $M$ é múltiplo de $3$ (por exemplo $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) e um deles vale $-3$: $D_2 = 3$; $D_3 = \det M = 0$. Logo $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: a mesma resposta. Duas lições: um fator invariante nulo registra a queda de posto (o conúcleo ganha uma parcela livre $\Z$), e a cadeia de divisibilidade $1 \mid 3 \mid 0$ é o certificado de Smith — uma redução diagonal que viole a cadeia (digamos $\operatorname{diag}(2, 3)$, que o descuidado pode produzir a partir de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ parando cedo demais: a forma de Smith correta é $\operatorname{diag}(1, 6)$, pois $D_1 = 1$ aqui!) não está terminada.