¿Qué es módulo finitamente generado?

Ejemplo 3.10 (Una reducción de Smith, con todo detalle)

Reduzcamos $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sobre $\Z$. La esquina $1$ lo divide todo: anúlense su fila y su columna ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$, y después $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$):

En el bloque interior, la esquina $-3$ divide todas las entradas: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ y $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ lo dejan reducido a $\operatorname{diag}(-3, 0)$. Ajustando los signos (multiplíquese una fila por $-1$, operación lícita):

Comprobación mediante los divisores determinantales: $D_1 = \gcd(\text{entradas}) = 1$; todo menor $2\times2$ de $M$ es múltiplo de $3$ (por ejemplo, $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) y uno de ellos vale $-3$: $D_2 = 3$; $D_3 = \det M = 0$. Por tanto $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: la misma respuesta. Dos lecciones: un factor invariante nulo registra la caída del rango (el conúcleo gana un sumando libre $\Z$), y la cadena de divisibilidad $1 \mid 3 \mid 0$ es el certificado de Smith — una reducción diagonal que viola la cadena (por ejemplo $\operatorname{diag}(2, 3)$, que un descuido puede producir a partir de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ deteniéndose demasiado pronto: la forma de Smith correcta es $\operatorname{diag}(1, 6)$, ¡pues aquí $D_1 = 1$!) no está terminada.