Wat is eindig voortgebracht moduul? — Wiskunde

Definitie 3.3 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 3 — Modulen over een hoofdideaaldomein

$M$ heet eindig voortgebracht als $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ voor zekere $x_i$ . En $M$ heet vrij van rang $n$ als $M \cong A^n$ , dat wil zeggen als het een basis heeft (een voortbrengende familie die $A$ -lineair onafhankelijk is). Elk eindig voortgebracht $M$ is een quotiënt van een vrij moduul: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ beeldt $A^n$ af op $M$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 3.10 (Een volledig uitgewerkte Smith-reductie)

Reduceer $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ over $\Z$ . De hoekingang $1$ deelt alles: veeg haar rij en kolom schoon ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , daarna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

In het inwendige blok deelt de hoekingang $-3$ alle ingangen: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ en $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ vegen het schoon tot $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . Na aanpassing van de tekens (een rij met $-1$ vermenigvuldigen is een geoorloofde bewerking):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Controle via de determinantdelers: $D_1 = \gcd(\text{ingangen}) = 1$ ; elke $2\times2$ -minor van $M$ is een veelvoud van $3$ (bijvoorbeeld $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) en één ervan is $-3$ : $D_2 = 3$ ; en $D_3 = \det M = 0$ . Dus $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : hetzelfde antwoord. Twee lessen: een invariante factor $0$ legt de rangval vast (de cokern krijgt een vrije $\Z$ -summand erbij), en de deelbaarheidsketen $1 \mid 3 \mid 0$ is het Smith-certificaat — een diagonaalreductie die de keten schendt (zeg $\operatorname{diag}(2, 3)$ , die de onachtzame lezer uit $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ haalt door te vroeg te stoppen: de juiste Smith-vorm is $\operatorname{diag}(1, 6)$ , want hier is $D_1 = 1$ !) is niet af.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen