परिमिततः जनित मॉड्यूल क्या है? — गणित

परिभाषा 3.3 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 3 — मुख्य आदर्श प्रांत पर मॉड्यूल

$M$ परिमिततः जनित कहलाता है यदि किसी $x_i$ के लिए $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ हो। $M$ कोटि $n$ का मुक्त कहलाता है यदि $M \cong A^n$ , अर्थात् यदि उसका कोई आधार हो (ऐसा जनक कुल जो $A$ -रैखिकतः स्वतंत्र है)। प्रत्येक परिमिततः जनित $M$ किसी मुक्त मॉड्यूल का भागफल होता है: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ $A^n$ को $M$ पर आच्छादित करता है।

उदाहरण

उदाहरण 3.10 (एक पूर्ण स्मिथ अपचयन)

$\Z$ पर $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ का अपचयन कीजिए। कोने की प्रविष्टि $1$ सब कुछ विभाजित करती है: उसकी पंक्ति और स्तंभ साफ कीजिए ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , फिर $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

भीतरी खंड में कोने की प्रविष्टि $-3$ सभी प्रविष्टियों को विभाजित करती है: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ और $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ उसे $\operatorname{diag}(-3, 0)$ तक साफ कर देते हैं। चिह्न समायोजित करने पर (किसी पंक्ति को $-1$ से गुणा कीजिए, जो वैध संक्रिया है):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

सारणिक भाजकों से जाँच: $D_1 = \gcd(\text{प्रविष्टियाँ}) = 1$ ; $M$ का प्रत्येक $2\times2$ उपसारणिक $3$ का गुणज है (उदाहरणार्थ $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) और एक $-3$ के बराबर है: $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$ । अतः $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : वही उत्तर। दो शिक्षाएँ: शून्य अपरिवर्ती गुणनखंड कोटि की गिरावट दर्ज करता है (सह-अष्टि एक मुक्त $\Z$ योज्यांश उठा लेती है), और विभाज्यता शृंखला $1 \mid 3 \mid 0$ ही स्मिथ का प्रमाणपत्र है — ऐसा विकर्ण अपचयन जो इस शृंखला का उल्लंघन करता हो (मान लीजिए $\operatorname{diag}(2, 3)$ , जिसे असावधान पाठक $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ से बहुत जल्दी रुककर उत्पन्न कर सकता है: सही स्मिथ रूप $\operatorname{diag}(1, 6)$ है, क्योंकि यहाँ $D_1 = 1$ !) अभी पूरा नहीं हुआ है।

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