Apa itu modul? — Matematika

Definisi 3.1 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 3 — Modul atas Daerah Ideal Utama

Sebuah modul- $A$ adalah grup abelian $(M, +)$ dengan perkalian skalar $A \times M \to M$ yang memenuhi aksioma ruang vektor: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Submodul, modul kuosien $M/N$ , morfisma (pemetaan linear- $A$ ), jumlah langsung $\bigoplus_i M_i$ , dan teorema isomorfisma didefinisikan dan dibuktikan kata demi kata seperti pada ruang vektor dan grup abelian; khususnya $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ untuk sebuah morfisma $f$ .

Contoh

Contoh 3.2

Berikut tiga kasus yang memotivasinya.

$A = K$ sebuah lapangan: modulnya adalah ruang vektor.
$A = \Z$ : modulnya tepat berupa grup abelian (sebab $nx$ terpaksa sama dengan $x + \dots + x$ ), dan submodulnya adalah subgrup.
$A = K[X]$ : modulnya berupa ruang vektor- $K$ $V$ beserta pemetaan linear- $K$ $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — sebaliknya, setiap pasangan $(V, u)$ dengan $u \in \mathcal L(V)$ menjadi modul- $K[X]$ lewat $P \cdot x = P(u)(x)$ . Submodulnya tepat berupa subruang yang stabil terhadap $u$ .

Ideal $A$ tidak lain adalah submodul $A$ ; ring kuosien $A/I$ merupakan modul- $A$ . Berbeda dengan ruang vektor, modul dapat mempunyai torsi: di $\Z/6\Z$ , unsur $\bar 3 \ne 0$ dimatikan oleh $2 \neq 0$ .

Baca dalam konteks →