ما معنى مقاس مولد بعدد منته؟

مثال 3.10 (اختزال سميث كاملًا)

لنختزل $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ على $\Z$. الركن $1$ يقسم كل شيء: فنُصفّر سطره وعموده ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$، $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$، ثم $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$، $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$):

وفي الكتلة الداخلية، يقسم الركن $-3$ جميع العناصر: فيصفّرها $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ و $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ لتصير $\operatorname{diag}(-3, 0)$. وبضبط الإشارات (بضرب سطر في $-1$، وهي عملية مشروعة):

ولنتحقق بواسطة القواسم المحدّدية: $D_1 = \gcd(\text{العناصر}) = 1$؛ وكل محدد جزئي من القياس $2\times2$ للمصفوفة $M$ مضاعفٌ للعدد $3$ (مثلًا $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) وأحدها يساوي $-3$: ومنه $D_2 = 3$؛ و $D_3 = \det M = 0$. إذن $d_1 = 1$ و $d_2 = 3$ و $d_3 = 0$: أي الجواب نفسه. وهنا درسان: العامل الصامد المعدوم يسجّل هبوط الرتبة (إذ يكتسب حاصل القسمة حدًّا حرًّا من $\Z$)، وسلسلة القابلية للقسمة $1 \mid 3 \mid 0$ هي شهادة سميث — فاختزالٌ قطري يخالف السلسلة (مثل $\operatorname{diag}(2, 3)$، وهو ما قد يُنتجه غير المتأني من $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ بالتوقف مبكرًا: والصيغة الصحيحة لسميث هي $\operatorname{diag}(1, 6)$، لأن $D_1 = 1$ هنا!) ليس اختزالًا منتهيًا.