Apa itu Norma yang setara?

Contoh 5.4 (Ketaksetaraan dalam dimensi tak hingga)

Pada $C(\intcc{0}{1})$: selalu berlaku $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$, tetapi tak ada batas sebaliknya: sebab $f_n(x) = x^n$ punya $\norm{f_n}_\infty = 1$ dan $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. Jadi $f_n \to 0$ untuk $\norm\cdot_1$ tetapi tidak untuk $\norm\cdot_\infty$: kedua norma itu berselisih justru tentang kekonvergenannya sendiri.

Contoh 5.5 (Konstanta yang gamblang dalam dimensi $n$)

Pada $K^n$ ketiga norma klasiknya setara dengan konstanta yang tajam:

dengan batas tengahnya $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ berasal dari Cauchy–Schwarz terhadap vektor yang semua unsurnya satu. Vektor ekstremalnya: $e_1$ membuat dua ketaksamaan pertamanya menjadi kesamaan, dan $(1, 1, \dots, 1)$ membuat dua yang terakhir demikian. Dimensi $n$ duduk kasatmata di dalam konstantanya — inilah benih kuantitatif kegagalannya dalam dimensi tak hingga: ketika $n \to \infty$ tak ada konstanta seragam yang bertahan, dan persis itulah yang diperlihatkan Contoh 5.4 pada ruang fungsi.