Pemetaan, peta, prapeta কী?

Contoh 1.22 (Menghitung peta dan prapeta)

Misalkan $f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. Maka:

Untuk yang pertama: setiap $x \in \intcc{-1}2$ memenuhi $x^2 \in \intcc04$, dan setiap $y \in \intcc04$ tercapai sebagai $y = (\sqrt y)^2$ dengan $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — perhatikan bahwa petanya bukan $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$: peta sebuah selang tidak dihitung dari titik ujungnya saja. Untuk yang kedua: $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$, yang terpecah menjadi dua potong. Yang ketiga memperlihatkan bahwa prapeta boleh kosong — $f^{-1}(B)$ selalu bermakna, sekecil apa pun irisan $B$ dengan peta itu. Akhirnya perhatikan pada contoh ini gejala inklusi sejati dari catatan di atas: dengan $A = \intcc{-1}0$ dan $A' = \intcc01$, kita peroleh $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$, sedangkan $f(A) \cap f(A') = \intcc01$.

Contoh 1.27 (Butir (2) sudah tajam)

Pada Proposisi 1.26 (2), kesimpulannya tidak dapat diperkuat: $g \circ f$ bijektif tidak memaksa $f$ surjektif atau $g$ injektif. Ambil $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, dengan $f(1) = 1$ dan $g(1) = g(2) = 1$: maka $g \circ f = \mathrm{id}_E$ bijektif, namun $f$ melewatkan unsur $2$ dan $g$ meleburkan kedua unsurnya. Moralnya adalah aturan pembukuan yang tepat: informasi komposisi mengalir ke pemetaan dalam untuk keinjektifan dan ke pemetaan luar untuk kesurjektifan, tidak pernah sebaliknya. (Latihan 1.9 membangun gejala yang sama dengan himpunan tak hingga, tempat gejala itu menjadi mesin di balik invers sepihak.)

Contoh 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ tidak injektif ($f(-1) = f(1)$) dan tidak pula surjektif ($-1$ tak punya prapeta). Dengan membatasi daerah asal dan daerah kawan, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ bijektif, dengan invers $y \mapsto \sqrt y$. Keinjektifan atau kesurjektifan sebuah pemetaan bergantung pada daerah asal dan daerah kawan yang diumumkan, bukan hanya pada rumusnya.