全部书籍

1 Matematika Sekolah Dasar dan Menengah1–9 年级在线 2 Matematika Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Matematika Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Matematika Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Matematika Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Fisika Sekolah Dasar dan Menengah Pertama1–9 年级在线 2 Fisika Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Fisika Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Fisika Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Fisika Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Kimia Sekolah — Kelas 1 sampai 121–12 年级在线 2 Kimia Universitas — Tahun 1本科一年级在线 3 Kimia Universitas — Tahun 2本科二年级在线 4 Kimia Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Biologi Sekolah Dasar dan Menengah Pertama1–9 年级在线 2 Biologi Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Biologi Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Biologi Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Biologi Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Ilmu Kebumian dan Antariksa Sekolah Dasar dan Menengah Pertama1–9 年级在线 2 Ilmu Kebumian dan Antariksa Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Markets市场在线英文 2 Markets II: Rates, FX and Credit市场在线英文 3 Markets III: Commodities, Energy and Crypto市场在线英文 4 Quantitative Methods方法在线英文 5 Derivatives and Volatility衍生品在线英文 6 Rates, Credit, XVA and Risk利率、信用与风险在线英文 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfolios研究在线英文 8 Strategies I: Equities and Futures策略在线英文 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desks策略在线英文 10 Microstructure and Execution交易执行在线英文 11 Market Making and High-Frequency Trading做市在线英文 12 Machine Learning for Markets机器学习在线英文 13 Low-Latency Software技术在线英文 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructure技术在线英文 15 Research, Data and Risk Platforms技术在线英文 16 The Desk and the Firm公司运营在线英文 17 The Industry: Firms, Roles and Careers职业发展在线英文 18 Interviews I: Maths, Probability and Speed职业发展在线英文 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Round职业发展在线英文 20 Interviews III: Code职业发展在线英文

全部游戏 Math Fuse Word Reactor Atlas Dash

应用关于

Coach

English Français Español Nederlands Português हिन्दी العربية Bahasa Indonesia 简体中文 বাংলা

登录开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Bahasa Indonesia 版。

Matematika · 术语表

什么是 Pemulus？

Definisi 12.8 Matematika Universitas — Tahun 3 · 第 12 章 — Ruang Lp

Fungsi

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

dengan $c$ yang menormalkan $\int\rho = 1$ , bersifat $\mathcal C^\infty$ pada $\R^d$ : sebab intinya adalah bahwa $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ bersifat $\mathcal C^\infty$ pada $\R$ , dengan semua turunannya di $0^+$ bernilai $0$ (sebab setiap turunannya berbentuk $P(1/t)\eu^{-1/t}$ untuk sebuah polinomial $P$ , yang menuju $0$ ; lewat induksi). Untuk $\varepsilon > 0$ tetapkan $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : yang berpendukung di $\bar B(0, \varepsilon)$ , dan tetap berintegral $1$ .

示例

Contoh 12.10 (Memuluskan $\abs x$ , beserta lajunya)

Ambillah $f(x) = \abs x$ pada $\R$ (yang $L^1$ secara lokal; sehingga teoremanya berlaku pada setiap jendela terbatas) dan sebuah pemulus setangkup $\rho_\varepsilon$ . Maka

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

bersifat $\mathcal C^\infty$ ; sedangkan jauh dari tekukannya, tak terjadi apa-apa: sebab untuk $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ linear terhadap $x$ pada pendukung $\rho_\varepsilon$ , sehingga $f_\varepsilon(x) = \abs x$ secara persis (sebab kesetangkupannya membunuh koreksinya). Di dekat $0$ , pemulusannya berbiaya tepat

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

sehingga galat penghampirannya terkurung di persekitaran- $\varepsilon$ kesingularannya dan seukuran dengannya. Sementara itu $f_\varepsilon'' \geq 0$ di mana-mana (sebab $f$ cembung, dan konvolusi terhadap $\rho_\varepsilon \geq 0$ mengawetkan kecembungan), dengan $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : jadi turunan keduanya berupa gundukan bermassa $2$ yang terjepit ke dalam lebar $O(\varepsilon)$ , sehingga $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Jadi pemulusan adalah tukar tambah: galat seragam $O(\varepsilon)$ ditukar dengan peledakan turunan $O(\varepsilon^{-1})$ — yakni kurs tukar persis yang diformalkan analisis kuantitatif (lewat ketaksamaan interpolasi, yakni lingkaran gagasan Soal 12.1).

在原文中阅读 →