Apa itu penutup? — Matematika

Definisi 6.3 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 6 — Topologi Umum

Untuk $A \subseteq X$ : interior $\mathring A$ adalah himpunan terbuka terbesar di dalam $A$ (gabungan semuanya); penutup $\bar A$ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat $A$ ; dan batas $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . Himpunan $A$ disebut padat jika $\bar A = X$ . Berlaku $x \in \bar A$ jika dan hanya jika setiap persekitaran $x$ memotong $A$ (sebab jika suatu persekitaran meleset dari $A$ , komplemen inti terbukanya menjadi himpunan tertutup yang lebih kecil di sekitar $A$ ; dan sebaliknya).

Contoh

Contoh 6.22 (Kurva sinus topolog)

Misalkan $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ dan $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (sebab setiap titik $(0, y)$ dengan $\abs y \leq 1$ merupakan limit titik $\Gamma$ : selesaikan $\sin\frac1x = y$ di dekat $0$ ). Maka $S$ bersifat terhubung — sebagai penutup $\Gamma$ yang terhubung, yaitu peta kontinu $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — tetapi tidak terhubung lintasan: sebab lintasan dari $(1, \sin 1)$ ke $(0,0)$ harus melintasi absis yang $\to 0$ sementara ordinatnya berayun antara $\pm1$ ; Latihan 6.9 membuatnya ketat. Keterhubungan dan keterhubungan lintasan memang benar-benar berbeda.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait