Apa itu ruang terhubung?

Contoh 4.28

$GL_n(\R)$ tidak terhubung: $\det$ bersifat kontinu (sebuah polinomial dalam unsurnya) ke $\R^*$, yang tidak terhubung; prapeta $\R_+^*$ dan $\R_-^*$ memecah $GL_n(\R)$. (Tiap potongannya sebenarnya terhubung lintasan — latihan yang menyenangkan di luar kebutuhan kita.) Sebaliknya $GL_n(\C)$ memang terhubung lintasan: Latihan 4.10.

Contoh 4.29 (Titik tetap dari keterhubungan semata)

Setiap $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ yang kontinu punya titik tetap — tanpa hipotesis kontraksi, tanpa iterasi. Tinjaulah $g(x) = f(x) - x$, yang kontinu pada $\intcc01$ yang terhubung:

lalu teorema nilai antara (Teorema 4.27 (2)) menyerahkan sebuah nol bagi $g$, yakni sebuah titik tetap bagi $f$. Bandingkan dengan Banach (Teorema 4.12): di sini keberadaannya bersifat topologis dan cuma-cuma, tetapi ketunggalan dan algoritmenya hilang — sebab $f = \mathrm{id}$ punya titik tetap di mana-mana, dan iterasi $f$ yang bukan kontraksi bisa berputar selamanya. Kedua teorema titik tetap pada bab ini menjawab pertanyaan yang berbeda dengan mata uang yang berbeda.

Contoh 4.30 ($\R$ dan $\R^2$ tidak homeomorfik)

Keterhubungan adalah sidik jari topologis. Andaikan $h \colon \R^2 \to \R$ sebuah homeomorfisma (bijeksi kontinu yang inversnya juga kontinu). Buang satu titik $a \in \R^2$: maka pembatasan $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ tetap homeomorfisma. Namun $\R^2$ dikurangi satu titik itu bersifat terhubung lintasan — hubungkan sembarang dua titiknya oleh ruas garis, dengan memutar lewat ruas kedua melalui titik bantu bila $a$ menghalangi ruas langsungnya — jadi ia terhubung (Teorema 4.27 (3)); sedangkan $\R$ dikurangi satu titik terpecah menjadi dua setengah-garis terbuka yang tak kosong: tidak terhubung. Padahal keterhubungan terpelihara oleh pemetaan kontinu: kontradiksi. Bidang dan garis sungguh berbeda sebagai ruang topologis — kenyataan yang terlalu kasar untuk dilihat kardinalitas semata (bijeksi bergaya Latihan 1.3 memang ada!).

Contoh 6.22 (Kurva sinus topolog)

Misalkan $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ dan $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (sebab setiap titik $(0, y)$ dengan $\abs y \leq 1$ merupakan limit titik $\Gamma$: selesaikan $\sin\frac1x = y$ di dekat $0$). Maka $S$ bersifat terhubung — sebagai penutup $\Gamma$ yang terhubung, yaitu peta kontinu $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — tetapi tidak terhubung lintasan: sebab lintasan dari $(1, \sin 1)$ ke $(0,0)$ harus melintasi absis yang $\to 0$ sementara ordinatnya berayun antara $\pm1$; Latihan 6.9 membuatnya ketat. Keterhubungan dan keterhubungan lintasan memang benar-benar berbeda.