Wat is afsluiting? — Wiskunde

Definitie 6.3 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 6 — Algemene topologie

Voor $A \subseteq X$ : het inwendige $\mathring A$ is de grootste open verzameling binnen $A$ (de vereniging van alle); de afsluiting $\bar A$ is de kleinste gesloten verzameling die $A$ bevat; en de rand is $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ heet dicht als $\bar A = X$ . Er geldt $x \in \bar A$ dan en slechts dan als elke omgeving van $x$ de verzameling $A$ snijdt (mijdt een omgeving $A$ , dan is het complement van haar open kern een kleinere gesloten verzameling om $A$ heen; en omgekeerd).

Voorbeelden

Voorbeeld 6.22 (De sinuskromme van de topoloog)

Zij $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ en $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (elk punt $(0, y)$ met $\abs y \leq 1$ is een limiet van punten van $\Gamma$ : los $\sin\frac1x = y$ op nabij $0$ ). Dan is $S$ samenhangend — de afsluiting van de samenhangende $\Gamma$ , een continu beeld van $(0, 1]$ (Stelling 6.20(3)) — maar niet wegsamenhangend: een weg van $(1, \sin 1)$ naar $(0,0)$ zou abscissen $\to 0$ moeten doorlopen terwijl de ordinaat tussen $\pm1$ blijft schommelen; Oefening 6.9 maakt dit precies. Samenhang en wegsamenhang verschillen dus werkelijk.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen