O que é fecho? — Matemática

Definição 6.3 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 6 — Topologia geral

Para $A \subseteq X$ : o interior $\mathring A$ é o maior aberto contido em $A$ (a reunião de todos eles); o fecho $\bar A$ é o menor fechado que contém $A$ ; a fronteira é $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ é denso se $\bar A = X$ . Tem-se $x \in \bar A$ se, e somente se, toda vizinhança de $x$ encontra $A$ (se alguma vizinhança não encontra $A$ , o complementar de seu núcleo aberto é um fechado menor em torno de $A$ ; e reciprocamente).

Exemplos

Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo)

Sejam $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ e $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo ponto $(0, y)$ , com $\abs y \leq 1$ , é limite de pontos de $\Gamma$ : resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$ ). Então $S$ é conexo — fecho do conexo $\Gamma$ , imagem contínua de $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — mas não é conexo por caminhos: um caminho de $(1, \sin 1)$ até $(0,0)$ teria de percorrer abscissas $\to 0$ enquanto a ordenada oscila entre $\pm1$ ; o Exercício 6.9 torna isso rigoroso. Conexidade e conexidade por caminhos diferem de verdade.

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Exemplos

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