Qu'est-ce que « adhérence » ? — Mathématiques

Définition 6.3 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 6 — Topologie générale

Pour $A \subseteq X$ : l’intérieur $\mathring A$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$ (réunion de tous) ; l’adhérence $\bar A$ le plus petit fermé contenant $A$ ; la frontière $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ est dense si $\bar A = X$ . On a $x \in \bar A$ ssi tout voisinage de $x$ rencontre $A$ (si un voisinage manque $A$ , le complémentaire de son noyau ouvert est un fermé plus petit autour de $A$ ; et réciproquement).

Exemples

Exemple 6.22 (La sinusoïde du topologue)

Soit $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ et $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (tout point $(0, y)$ , $\abs y \leq 1$ , est limite de points de $\Gamma$ : résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$ ). Alors $S$ est connexe — adhérence de la connexe $\Gamma$ , image continue de $(0, 1]$ (Théorème 6.20(3)) — mais pas connexe par arcs : un chemin de $(1, \sin 1)$ à $(0,0)$ devrait parcourir des abscisses $\to 0$ tandis que l’ordonnée oscille entre $\pm1$ ; Exercice 6.9 rend cela rigoureux. Connexité et connexité par arcs diffèrent vraiment.

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Exemples

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