Apa itu Rank sebuah keluarga?

Contoh 19.16 (Menghitung rank lewat penghapusan)

Rank $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ di $\R^3$. Adapun rentangnya tak berubah ketika kita mengurangkan dari sebuah vektor sebuah kombinasi vektor lainnya (karena kedua keluarganya merentang kombinasi yang sama): jadi gantilah $(2,3,4)$ dengan $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ dan $(3,4,5)$ dengan $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. Maka rentangnya kini $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, dan kedua vektornya tak sebanding: sehingga ranknya $2$. Adapun prosedur kurangi-dan-buang ini disistematiskan sebagai penghapusan Gauss pada Bab 22.

Contoh 19.17 (Menjumlahkan lewat perangkaian)

Ambillah, di dalam $\R^3$,

Adapun jumlahnya $F + G$ direntang oleh keluarga terangkai atas ketiga pembangunnya, dan

menunjukkan bahwa yang ketiganya berlebihan: sehingga $F + G = F$, berdimensi $2$ — setara dengan itu $G \subseteq F$, yang dipertunjukkan relasinya. Adapun Grassmann menegaskannya: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. Jadi jumlahnya dihitung dengan merangkai pembangunnya lalu mengurangi tumpukannya lewat algoritma ranknya; sehingga tak pernah diperlukan teknik yang baru.