Matematika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

22Determinan dan Sistem Linear

Determinan memampatkan ke dalam satu skalar jawaban atas “apakah $n$ vektor ini sebuah basis?” — dan, secara geometri, mengukur volume yang direntangnya. Kita mencirikannya lewat sifatnya (multilinear, berselang-seling, ternormalkan), menghitungnya dalam dimensi $2$ dan $3$ serta lewat penjabaran kofaktor pada umumnya, lalu menerapkannya pada sistem linear, berdampingan dengan algoritma serbaguna: yaitu penghapusan Gauss.

22.1 Determinan

Teorema 22.1 (Pencirian)

Ada tepat satu pemetaan $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ , yang dipandang sebagai fungsi atas $n$ kolomnya, yang:

linear pada setiap kolomnya (dengan yang lain tetap);
berselang-seling: menukar dua kolom mengubah tandanya (sehingga dua kolom yang sama memberikan $0$ );
ternormalkan: $\det I_n = 1$ .

Untuk $n = 2$ dan $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(yaitu kaidah Sarrus $3 \times 3$ : hasil kali diagonal yang menurun dikurangi yang menaik).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 22.2

Untuk $n = 2$ : menjabarkannya lewat kebilinearan pada kolom kanoniknya memberikan rumusnya, yang sebaliknya memenuhi aksiomanya — jadi bukti yang lengkap; sedangkan $n = 3$ serupa dengan lebih banyak suku. Adapun kasus umumnya (dengan keberadaannya lewat jumlah atas permutasi, dan ketunggalannya lewat penjabaran yang sama) menuntut tanda sebuah permutasi dan ditangguhkan ke tahun kedua; jadi kita bebas memakai aksioma dan akibatnya di bawah.

Berikut penjabaran $n = 2$ selengkapnya, karena ia menjadi contohnya: dengan kolom $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ dan $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ , kebilinearannya memberikan

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

dan sifat berselang-selingnya membunuh pasangan yang berulang sembari membalik $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ : sehingga seluruh pemetaannya runtuh menjadi $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ lewat penormalannya. Adapun ketunggalannya kasatmata pada perhitungannya sendiri — karena aksiomanya tak menyisakan pilihan pada langkah mana pun — dan inilah persis fakta ketunggalan berskala yang dipakai pada bukti kaidah hasil kali di bawah.

Teorema 22.3 (Sifat)

Untuk $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

menambahkan kelipatan sebuah kolom pada kolom lain tak mengubah determinannya; sedangkan mengalikan sebuah kolom dengan $\lambda$ mengalikannya dengan $\lambda$ (sehingga $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ dapat dibalik $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ kolomnya membentuk basis $K^n$ ; dan lalu $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — sehingga setiap kaidah kolomnya juga kaidah baris;
determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil kali entri diagonalnya.

Bukti. (1) Lewat kelinearannya, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ dan determinan keduanya berkolom dua yang sama: jadi nol.

(2) Tetapkanlah $A$ lalu pandanglah $\varphi(B) = \det(AB)$ sebagai fungsi atas kolom $B$ : karena $AB$ berkolom $AB_j$ , maka $\varphi$ bersifat multilinear dan berselang-seling pada $B_j$ . Kita mengakui, bersama Teorema 22.1, pernyataan ketunggalannya dalam bentuk berskala: bahwa setiap pemetaan multilinear berselang-seling $\varphi$ atas kolomnya sama dengan $\varphi(I_n) \cdot \det$ . Di sini $\varphi(I_n) = \det A$ , sehingga $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) Jika $A$ dapat dibalik: maka $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , sehingga $\det A \neq 0$ dan rumus inversnya berlaku. Jika $A$ tak dapat dibalik, maka kolomnya terkait (Akibat 20.9 dan Proposisi 20.2); lalu menyatakan satu kolom lewat yang lain dan menjabarkannya secara linear menyisakan determinan berkolom dua yang sama: jadi $\det A = 0$ . Adapun pernyataan basisnya adalah Proposisi 19.8.

(4) Diakui bersama konstruksi umumnya (karena ia seketika pada rumus permutasinya); kita mencatatnya agar dapat memakai operasi baris.

(5) Jika suatu entri diagonalnya lenyap, maka $k$ kolom pertamanya terkait untuk suatu $k$ (lewat pertimbangan rank) dan $\det = 0 =$ hasil kalinya. Kalau tidak, bersihkanlah setiap kolomnya di bawah-dan-kiri lewat operasi jenis (1) — yang mungkin dalam bentuk segitiganya — sampai mencapai matriks diagonal, yang determinannya adalah hasil kali entrinya lewat kemultilinearan dari $I_n$ . ∎

Contoh 22.4 (Kaidahnya, diperiksa pada bilangan)

Ambillah $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) dan $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). Maka

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

Kesifatan perkalian dan keinvarianan transposnya tertegaskan — sedangkan kesifatan penjumlahan yang palsu gagal pada pasangan yang sama:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

Tiga puluh detik aritmetika semacam ini, setelah sebarang kesamaan determinan dipanggil, merupakan asuransi galat termurah yang ada.

Contoh 22.5 (Determinan sebagai luas)

Jajargenjang yang direntang $u = (2, 0)$ dan $v = (1, 3)$ mempunyai alas $2$ dan tinggi $3$ : jadi luasnya $6$ . Dan

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

determinan $2\times2$ itu adalah luas bertanda pada jajargenjang kolomnya. Adapun aksiomanya menuturkan ulang geometrinya: menambahkan kelipatan satu kolom pada yang lain merupakan geseran, yang menggelincirkan jajargenjangnya sejajar sebuah sisi tanpa mengubah alas atau tingginya (yaitu operasi (1) pada Teorema 22.3); menskalakan sebuah kolom menskalakan luasnya; sedangkan menukar kolomnya membalik arahnya, dan dari situlah tandanya, $\det(v, u) = -6$ . Di dalam $\R^3$ pembacaan yang sama memberikan volume bertanda, dan $\abs{\det}$ menjadi faktor penskalaan volume yang universal bagi pemetaan linear — yaitu fakta di balik rumus perubahan variabel bagi integral rangkap pada jilid Tahun 2.

Teorema 22.6 (Penjabaran kofaktor)

Misalkan $A \in \mathcal{M}_n(K)$ dan $\Delta_{ij}$ determinan $A$ dengan baris $i$ dan kolom $j$ yang dihapus. Maka, untuk sebarang kolom tetap $j$ (atau baris, lewat transposisi):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 22.7

Menjabarkannya sepanjang kolom pertamanya:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

Strateginya: ciptakanlah nol dahulu (lewat operasi baris/kolom), lalu jabarkanlah sepanjang garis yang paling kosong.

Contoh 22.8 (Invers kofaktornya, sekali dengan tangan)

Untuk $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . Adapun kesembilan kofaktornya $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ terhimpun menjadi

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

yaitu rumus yang dikutip pada Latihan 22.8. Periksalah satu pasangan baris-kolom: (baris $1$ pada $A$ )(kolom $1$ pada $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , dan terhadap kolom $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . Sembilan determinan $2\times2$ bagi satu invers $3\times3$ : sehingga sudah pada ukuran ini, reduksi baris (Latihan 22.3) lebih murah — adapun nilai rumus kofaktornya bersifat teori (yaitu kebulatan pada Latihan 22.8, dan sifat dapat diturunkan inversnya pada jilid kemudian), bukan perhitungan.

Contoh 22.9 (Kaidah blok segitiganya, pada ukuran $4$ )

Klaimnya: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ bagi blok $2\times2$ . Bersihkanlah blok $N$ lewat operasi kolom: karena menambahkan pada kolom $3, 4$ kombinasi kolom $1, 2$ yang cocok membuang $N$ ketika $M$ dapat dibalik (pecahkanlah $M\Lambda = -N$ bagi koefisien kombinasinya $\Lambda$ ), sehingga menyisakan $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ ; lalu penjabaran kofaktor sepanjang kolom pertamanya, dua kali, memberikan $\det M\det P$ bagi bentuk blok diagonal ini. Jika $M$ tak dapat dibalik, maka kolomnya terkait, sehingga kedua kolom pertama matriks besarnya terkait (karena separuh bawahnya nol): jadi kedua sisinya lenyap. Kaidahnya meluas ke sebarang ukuran blok lewat argumen dua kasus yang sama — dan ialah mesin Latihan 22.10.

Contoh 22.10 (Sebuah determinan $4 \times 4$ , secara strategis)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

Setiap barisnya berjumlah $10$ : sehingga operasi $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ membuat kolom pertamanya tetap, dan memfaktorkan $10$ menyisakan satuan. Lalu $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) membersihkan kolom pertamanya:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

dengan determinan $3\times3$ terakhirnya dijabarkan sepanjang baris pertamanya: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . Moralnya: satu operasi yang terpilih baik (yaitu melihat jumlah baris yang tetap) mengalahkan enam belas kofaktor.

Metode 22.11 (Memilih strategi determinan)

Pindailah matriksnya sebelum menghitung apa pun.

Jumlah baris atau kolom yang tetap: tambahkanlah segalanya ke dalam satu garis, lalu faktorkanlah nilai bersamanya (Contoh 22.10, Latihan 22.7).
Struktur yang berulang: kurangkanlah baris atau kolom yang bertetangga untuk menciptakan nol; karena pola tangganya runtuh menuju bentuk segitiga, yang determinannya terbaca pada diagonalnya.
Nol yang terpencil: jabarkanlah sepanjang garis yang paling kosong (Contoh 22.7); sedangkan keluarga yang berulang (yaitu tridiagonal, Latihan 22.6) menghasilkan rekurensi lewat cara ini.
Sebuah parameter: determinannya berupa polinomial pada parameter itu; carilah akarnya dengan melihat nilai yang merosot (yaitu baris yang sama, kolom yang sebanding), lalu pakukanlah polinomialnya lewat derajat dan koefisien utamanya. Bagi matriks pada Latihan 22.7: $m = 1$ memberikan tiga baris yang sama (ber-rank $1$ , yaitu akar rangkap), sedangkan $m = -2$ membuat jumlah barisnya nol (jadi satu akar lagi); adapun determinannya berderajat $3$ pada $m$ dengan suku utama $-m^3$ (yaitu hasil kali antidiagonalnya $m\cdot m\cdot m$ , yang bertanda Sarrus $-1$ ), sehingga ia pastilah $-(m+2)(m-1)^2$ — jadi tak ada penjabaran yang diperlukan, dan kedua metodenya saling memeriksa.

Contoh 22.12 (Determinan Vandermonde)

Untuk skalar $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

Sketsa buktinya (yang terperinci pada Latihan 22.5): operasi kolom $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ dari kanan membersihkan baris pertamanya, dan memfaktorkan setiap baris sisanya mereduksinya menjadi $V(x_2, \dots, x_n)$ . Ia taknol jika dan hanya jika $x_i$ berbeda berpasangan — yaitu determinan di balik interpolasi Lagrange (Contoh 20.10).

22.2 Sistem linear

Definisi 22.13

Sebuah sistem linear berisi $n$ persamaan dengan $p$ variabel adalah $AX = B$ dengan $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; ia disebut homogen ketika $B = 0$ . Adapun himpunan penyelesaiannya, ketika tak kosong, adalah $X_0 + \ker A$ : yaitu penyelesaian khusus tambah penyelesaian homogen umumnya — jadi subruang afin berdimensi $p - \operatorname{rk} A$ (lewat rank–nulitas).

Contoh 22.14 (Struktur afinnya, dibuat kasatmata)

Pecahkanlah

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Dengan mengurangkan persamaannya: $2y - z = 1$ , sehingga $z = 2y - 1$ dan $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . Maka penyelesaiannya membentuk garis

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

yaitu penyelesaian khususnya $X_0 = (4, 0, -1)$ (dari pilihan $y = 0$ ) tambah garis kernelnya $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ pada sistem homogen yang berkaitan — periksa: $(-3) + 1 + 2 = 0$ dan $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Secara geometri, dua bidang yang tak sejajar pada $\R^3$ beririsan sepanjang sebuah garis, dan cacah dimensinya $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ sudah tahu itu sebelum kita memecahkan apa pun. Mengubah penyelesaian khususnya (katakanlah $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) mengubah pemeriannya, bukan garisnya: karena subruang afin berasal-usul banyak dan berarah satu.

Teorema 22.15 (Sistem Cramer persegi)

Jika $A \in GL_n(K)$ , maka sistem $AX = B$ berpenyelesaian tunggal $X = A^{-1}B$ , yang koordinatnya

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ dengan kolom } j \text{ diganti oleh } B .

Bukti. Ketunggalan dan keberadaannya adalah keterbalikannya. Adapun untuk rumusnya: tulislah $B = \sum_k x_k C_k$ (dengan kolom $A$ ); lalu, lewat kemultilinearan dan sifat berselang-selingnya,

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

karena setiap sukunya kecuali $k = j$ berkolom berulang. ∎

Contoh 22.16 (Cramer dengan sebuah parameter, selengkapnya)

Untuk $m \in \R$ , pecahkanlah

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

Determinannya adalah $1 - m^2$ . Kasus umumnya $m \neq \pm1$ : Cramer memberikan

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

yaitu satu penyelesaian yang bersih bagi setiap $m$ yang diperkenankan (periksa di $m = 0$ : $(1, 2)$ , yang jelas benar). Kasus yang merosot: di $m = 1$ persamaannya terbaca $x + y = 1$ dan $x + y = 2$ : jadi tak sejalan; di $m = -1$ keduanya terbaca $x - y = 1$ dan $-x + y = 2$ , yaitu $x - y = 1$ dan $x - y = -2$ : tak sejalan lagi. Adapun lenyapnya determinannya mengumumkan bahwa sesuatu merosot, tetapi tak pernah mengatakan apa — karena kosong atau takhingga mesti diputuskan dengan melihat ruas kanannya. Perhatikanlah pula bagaimana rumusnya mengisyaratkan batasnya sendiri: ketika $m \to 1^{-}$ , $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; sehingga titik penyelesaiannya melarikan diri saat kedua garisnya menjadi sejajar.

Metode 22.17 (Penghapusan Gauss pada sistem)

Reduksikanlah baris matriks yang diperbesar $(A \mid B)$ ke bentuk eselon.

Jika sebuah poros muncul pada kolom terakhirnya (yaitu baris $0 = 1$ ): maka tak ada penyelesaian.
Kalau tidak, variabelnya terbelah menjadi variabel poros dan variabel bebas (yaitu parameternya); lalu penyulihan mundur menyatakan yang pertama lewat yang kedua: sehingga himpunan penyelesaiannya berupa subruang afin berdimensi $=$ cacah variabel bebasnya.

Rumus Cramer diperuntukkan bagi teori dan sistem kecil; sedangkan penghapusannya merupakan algoritma yang praktis.

Contoh 22.18 (Sebuah pembahasan dengan parameter)

Untuk $m \in \R$ , pandanglah

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

Matriksnya berdeterminan $-(m+2)(m-1)^2$ (yang dihitung pada Latihan 22.7 dengan menambahkan semua kolomnya pada yang pertama). Untuk $m \neq 1, -2$ : penyelesaiannya tunggal $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (lewat kesetangkupannya). Untuk $m = 1$ : satu persamaan yang berulang tiga kali, jadi sebuah bidang penyelesaian. Untuk $m = -2$ : menambahkan ketiga persamaannya memberikan $0 = 3$ , jadi tak ada penyelesaian.

Catatan 22.19 (Jebakan yang lazim)

Determinannya tak linear pada matriksnya: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (sudah $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ); melainkan ia linear pada setiap kolomnya secara terpisah, yang merupakan hal yang sama sekali berbeda. Penskalaan: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , bukan $\lambda\det A$ — karena masing-masing dari $n$ kolomnya terskalakan. Operasi baris tak semuanya bebas: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ mengawetkan determinannya, tetapi sebuah penukaran mengubah tandanya dan $L_i \leftarrow \lambda L_i$ mengalikannya dengan $\lambda$ — adapun galat pembukuan di sini merupakan sumber klasik tanda yang salah pada perhitungan berbasis penghapusan. Determinan nol itu awalnya, bukan akhirnya: karena ia mengatakan “rank $< n$ ” tetapi bukan rank yang mana; hanya kerja lanjutan (yaitu bentuk eselon, atau minor pada Latihan 22.12) yang menemukannya — bandingkanlah kasus $m = 1$ dengan $m = -2$ pada Contoh 22.18. Cramer menuntut keterbalikan: karena ketika $\det A = 0$ rumus $x_j = \det A_j/\det A$ tak bermakna, dan sistemnya boleh jadi tetap berpenyelesaian (bahkan tak berhingga banyaknya). Hanya matriks persegi yang berdeterminan: bagi sistem yang persegi panjang, penghapusannya satu-satunya alat.

Catatan 22.20 (Ke mana determinannya pergi)

Tiga kehidupan menanti skalar ini. Geometri: $\abs{\det}$ adalah faktor penskalaan luas atau volume pemetaan yang berkaitan — yang dipertepat bagi bidang pada Bab 23 dan, sebagai Jacobian sebuah perubahan variabel, pada integral rangkap jilid Tahun 2. Aljabar: $\det(A - \lambda I)$ , yaitu polinomial karakteristiknya, membuka teori nilai eigen pada Tahun 2 — dengan kesamaan $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ pada soal akhir pekan Bab 21 sebagai bayangan pertamanya. Analisis: determinan matriks yang istimewa (Vandermonde, Cauchy, Gram) memutuskan kapan masalah interpolasi, penguraian dan proyeksi terajukan dengan baik; adapun soal akhir pekan di bawah menilai kedua keluarga yang pertama selengkapnya.

Catatan 22.21 (Cakrawala di dalam Buku 3)

Bab ini menutup tulang punggung aljabar linear jilid ini, dan kedua bab sisanya mencairkan dividennya. Pada Bab 23: matriks Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ menguji kebebasan lewat sebuah determinan (Latihan 23.11), dan isometri bidangnya terbelah menjadi rotasi dan pencerminan menurut tanda determinannya — dan penggolongan soal akhir pekan di sana berjalan di atasnya. Pada Bab 25: besaran Monge $rt - s^2$ merupakan determinan matriks setangkup turunan keduanya, dan persamaan normal kuadrat terkecilnya berupa sistem Cramer yang matriksnya matriks Gram (jadi matriks momen) — yang dapat dibalik justru lewat kriteria bercita rasa Vandermonde yang ditegakkan di sini. Ketika bab itu menegaskan “dapat dibalik” atau “positif”, kuitansinya ada pada bab ini.

22.3 Latihan

Latihan 22.1 ★

Hitunglah:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

Solusi

Solusi Latihan 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

Yang kedua: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (pada baris aslinya) memberikan baris $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : yaitu dua baris yang sama, jadi determinannya $0$ . (Sarrus menegaskan: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

Yang ketiga: ia Vandermonde dengan $x = 1, 2, 3$ (Contoh 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

Latihan 22.2 ★

Untuk $\lambda \in \R$ yang mana keluarga $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ merupakan basis $\R^3$ ?

Solusi

Solusi Latihan 22.2.

Determinannya sama dengan (tambahkanlah semua kolomnya pada yang pertama, lalu faktorkanlah) $(\lambda + 2)$ kali

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(bersihkanlah dengan $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ lalu jabarkanlah), yang memberikan $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ . Basis $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

Latihan 22.3 ★

Pecahkanlah lewat kaidah Cramer:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{lalu}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

Solusi

Solusi Latihan 22.3.

Sistem pertama: $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . Periksa: $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ .

Sistem kedua: setelah $L_2 - L_1$ dan $L_3 - 2L_1$ , barisnya menjadi $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ , sehingga

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

Cramer, dengan mengganti kolomnya oleh $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(dengan pembilangnya dihitung dengan cara yang sama). Periksa: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ .

Latihan 22.4 ★

Pecahkanlah lewat penghapusan Gauss, dengan memerikan himpunan penyelesaiannya:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

Solusi

Solusi Latihan 22.4.

Reduksikanlah matriks yang diperbesar: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Variabel porosnya $x, z$ ; variabel bebasnya $y, t$ . Penyulihan mundur: $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . Himpunan penyelesaiannya:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

yaitu bidang afin (berdimensi $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) pada $\R^4$ .

Latihan 22.5 ★★

Buktikan rumus Vandermonde pada Contoh 22.12 lewat induksi pada $n$ , dengan operasi kolom $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ yang dijalankan dari $k = n$ turun ke $k = 2$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.5.

Induksi; $n = 1$ berupa hasil kali kosong $= 1$ . Untuk langkahnya, jalankanlah $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ bagi $k = n, n-1, \dots, 2$ (dalam urutan ini, sehingga setiap operasinya memakai kolom yang belum terubah). Adapun baris pertamanya menjadi $(1, 0, \dots, 0)$ ; sedangkan pada baris $i \geq 2$ , entri ke- $k$ -nya menjadi $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . Dengan menjabarkannya sepanjang baris pertamanya lalu memfaktorkan $(x_i - x_1)$ keluar dari setiap baris $i$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

dan hipotesis induksinya melengkapkan hasil kali $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

Latihan 22.6 ★★

(Tridiagonal) Misalkan $D_n$ determinan $n \times n$ dengan $2$ pada diagonalnya, $1$ pada kedua diagonal yang bersebelahan, dan $0$ di tempat lain. Dengan menjabarkannya sepanjang baris pertamanya, buktikanlah $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ lalu hitunglah $D_n$ ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ ).

Solusi

Solusi Latihan 22.6.

Menjabarkan $D_n$ sepanjang baris pertamanya: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-blok} \end{vmatrix}$ ; dan determinan keduanya, yang dijabarkan sepanjang kolom pertamanya, adalah $D_{n-2}$ . Jadi $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , yaitu $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : sehingga selisihnya tetap, sama dengan $D_2 - D_1 = 1$ . Maka $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (Periksa: $D_2 = 3$ , dan kasus $3\times3$ -nya adalah Contoh 22.7: $D_3 = 4$ .)

Latihan 22.7 ★★

Lengkapilah Contoh 22.18: hitunglah determinan $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ lewat operasi $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , lalu jalankanlah pembahasan sistemnya selengkapnya.

Solusi

Solusi Latihan 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ membuat kolom pertamanya tetap $(m+2)$ ; faktorkanlah ia:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(jabarkanlah sepanjang kolom pertamanya: entri tunggalnya $1$ bertanda $+$ , dan determinan $2 \times 2$ sisanya adalah $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

Pembahasannya. $m \notin \{1, -2\}$ : yaitu sistem Cramer; dan lewat kesetangkupan persamaannya, $x = y = z$ , sehingga setiap persamaannya memberikan $(m + 2)x = 1$ : jadi penyelesaian tunggal $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . $m = 1$ : ketiga persamaannya semua terbaca $x + y + z = 1$ : sehingga penyelesaiannya membentuk bidang afin $x + y + z = 1$ . $m = -2$ : menjumlahkan ketiga persamaannya memberikan $0 = 3$ : jadi himpunan penyelesaiannya kosong.

Latihan 22.8 ★★

Misalkan $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ berentri bilangan bulat. Buktikan bahwa $A$ mempunyai invers berentri bilangan bulat jika dan hanya jika $\det A = \pm 1$ . (Untuk arah langsungnya, ambillah determinannya; sedangkan untuk konversnya, akuilah — atau buktikanlah untuk $n \leq 3$ lewat kofaktor — bahwa $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ dengan matriks kofaktor yang bulat.)

Solusi

Solusi Latihan 22.8.

( $\Rightarrow$ ) Jika $A^{-1}$ berentri bilangan bulat: maka $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ dengan kedua determinannya bulat (karena jumlah hasil kali entrinya): dan dua bilangan bulat yang hasil kalinya $1$ keduanya $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) Rumus kofaktornya $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (yang diperiksa untuk $n \leq 3$ lewat penjabaran langsung, dan diakui pada umumnya) mempunyai $\operatorname{Com}(A)$ yang berentri bulat (karena setiap kofaktornya determinan yang bulat); dan membaginya dengan $\det A = \pm 1$ menjaga kebulatannya.

Latihan 22.9 ★★★

Hitunglah determinan $n \times n$ atas matriks $aI + bJ$ (Latihan 21.9), yaitu dengan $a + b$ pada diagonalnya dan $b$ di tempat lain. (Tambahkanlah semua kolomnya pada yang pertama, faktorkanlah, lalu bersihkanlah.) Pulihkanlah syarat keterbalikannya $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.9.

Tambahkanlah semua kolomnya pada yang pertama: maka setiap entri kolom pertamanya yang baru adalah $a + nb$ ; faktorkanlah ia keluar, sehingga kolom pertamanya semuanya satu. Lalu operasi baris $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) membersihkan setiap entri di bawah $1$ kiri atasnya dan menyisakan $a$ pada diagonalnya dan $0$ di tempat lain pada baris itu: sehingga matriksnya segitiga atas dengan diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Maka

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

yang taknol jika dan hanya jika $a \neq 0$ dan $a + nb \neq 0$ : yaitu syarat pada Latihan 21.9.

Latihan 22.10 ★★★

Misalkan $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . Buktikan bahwa

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

lewat operasi kolom dan baris blok ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ , lalu $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , dalam bentuk blok), dengan mengandaikan kaidah blok segitiga yang alami $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — yang dibuktikan bagi blok $2 \times 2$ pada Contoh 22.9.

Solusi

Solusi Latihan 22.10.

Operasi blok (yang masing-masingnya komposisi atas $n$ operasi skalar yang bersesuaian, dan diperkenankan oleh Teorema 22.3 (1)):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

dengan memakai kaidah blok segitiganya pada langkah terakhirnya.

Latihan 22.11 ★★

(Sirkulan berorde $3$ ) Misalkan $a, b, c \in \C$ dan

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

Buktikan bahwa $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ , lalu faktorkanlah selengkapnya atas $\C$ dengan memakai $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(Mulailah dengan $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; sedangkan untuk bentuk kompleksnya, perhatikanlah bahwa kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ nyaris berperilaku bagai vektor eigen.)

Solusi

Solusi Latihan 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ membuat kolom pertamanya tetap $(a + b + c)$ ; faktorkanlah ia keluar, lalu $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

dan dengan menjabarkannya, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . Atas $\C$ , dengan $j^3 = 1$ dan $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

dan dari situlah pemfaktoran lengkapnya. (Secara struktur: kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ memenuhi $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ , dan serupa bagi $j^2$ dan $1$ : sehingga ketiga faktornya adalah ketiga “nilai eigen” sirkulannya, yaitu kisah yang disistematiskan pada jilid Tahun 2.)

Latihan 22.12 ★★★

(Rank dan minor) Misalkan $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . Buktikan bahwa $\operatorname{rk} A$ sama dengan ukuran terbesar $r$ atas sebuah submatriks $r \times r$ pada $A$ yang dapat dibalik (dengan submatriks menyimpan entri di persilangan $r$ baris terpilih dan $r$ kolom terpilih). (Jika $\operatorname{rk} A = r$ , pilihlah $r$ kolom bebas, lalu $r$ baris bebas pada blok $n \times r$ yang dihasilkannya; sebaliknya, sebuah submatriks yang dapat dibalik memaksa kolom $A$ yang bersesuaian menjadi bebas.)

Solusi

Solusi Latihan 22.12.

Tulislah $r = \operatorname{rk} A$ .

Ada submatriks $r \times r$ yang dapat dibalik. Pilihlah $r$ kolom bebas pada $A$ lalu misalkan $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ matriks yang dibentuknya: maka $\operatorname{rk} B = r$ . Dan karena rank barisnya sama dengan rank kolomnya (Teorema 21.13), $B$ mempunyai $r$ baris bebas; sehingga menyimpan baris itu menghasilkan submatriks $r \times r$ pada $A$ yang ber-rank $r$ , yaitu dapat dibalik.

Tak ada yang lebih besar. Misalkan $S$ submatriks $s \times s$ yang dapat dibalik, yang diambil dari kolom $j_1, \dots, j_s$ dan baris $i_1, \dots, i_s$ pada $A$ . Jika sebuah kombinasi $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ atas kolom penuh yang bersesuaian lenyap, maka membaca hanya baris $i_1, \dots, i_s$ memberikan $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ pada kolom $S$ , sehingga semua $\lambda_k = 0$ (karena $S$ dapat dibalik): jadi kolom $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ pada $A$ bebas, dan $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

Maka $\operatorname{rk} A$ tepat merupakan ukuran terbesar sebuah submatriks yang dapat dibalik.

22.4 Soal: alternan ganda Cauchy

Soal 22.1

Dua determinan menguasai penerapan bab ini: yaitu determinan Vandermonde, yang dinilai pada Latihan 22.5, dan determinan Cauchy $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , yang dinilai di sini. Di sekitar keduanya soal ini menghimpun kotak perkakas alternannya: yaitu kiat kolom polinomial, interpolasi lewat Cramer, matriks Hilbert, diskriminan sebuah kubik, dan metode polinomial berselang-seling. Sepanjang soal ini, $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ menyatakan nilai Vandermondenya.

Bagian I — Kotak perkakas Vandermonde.

Hitunglah $V(1, 2, 3, 4)$ , lalu ingatlah kembali mengapa interpolasi pada $n$ simpul yang berbeda berpasangan merupakan sistem Cramer.
(Alternan polinomial) Misalkan $P_0, \dots, P_{n-1}$ bersifat monik dengan $\deg P_k = k$ . Buktikan

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

karena operasi kolom mengganti setiap kolom pangkatnya dengan sebarang tangga monik, secara cuma-cuma.
Terapkanlah pertanyaan 2 pada polinomial binomial $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : buktikanlah bahwa untuk bilangan bulat $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ ,

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

hasil kali semua selisih berpasangan atas $n$ bilangan bulat terbagi oleh superfaktorial $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
Buktikan $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (dengan pangkatnya kini bermula di $1$ ).
(Matriks momen) Misalkan $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ dengan $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . Buktikan bahwa $S = W^{\mathsf T} W$ bagi matriks $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ , lalu simpulkanlah

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

lalu simpulkanlah: bahwa $n$ bilangan real berbeda berpasangan jika dan hanya jika matriks momennya dapat dibalik, dan bahwa $\det S \geq 0$ selalu.

Bagian II — Interpolasi ditinjau ulang. Dengan simpul $x_1 < \dots < x_n$ , dan nilai $y_1, \dots, y_n$ .

Tulislah syarat “ $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ menginterpolasi” sebagai sistem linear pada $c_k$ dengan matriks $W$ , lalu pulihkanlah dari $\det W = V \neq 0$ keberadaan dan ketunggalan interpolannya (bandingkanlah kedua bukti yang terdahulu, Teorema 8.23 dan Contoh 20.10).
Lewat kaidah Cramer dan penjabaran kofaktor atas determinan yang bersangkutan sepanjang kolom terakhirnya, buktikanlah bahwa koefisien utama interpolannya adalah

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(Vandermonde yang menyatu) Hitunglah

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

lalu tafsirkanlah: bahwa data $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ menentukan satu $P \in \R_2[X]$ yang tunggal ketika $x_1 \neq x_2$ (yaitu interpolasi Hermite).
Carilah $P \in \R_2[X]$ yang tunggal dengan $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ , lalu periksalah jawabanmu terhadap pertanyaan 8.

Bagian III — Determinan Cauchy. Misalkan $a_1, \dots, a_n$ dan $b_1, \dots, b_n$ skalar dengan $a_i + b_j \neq 0$ untuk semua $i, j$ , dan

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

Hitunglah $C_2$ dengan tangan lalu tempatkanlah ia dalam bentuk “hasil kali selisih dibagi hasil kali jumlah”.
Untuk $n \geq 2$ , jalankanlah $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) lalu faktorkanlah baris dan kolomnya untuk membuktikan

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

dengan $M$ yang sepakat dengan matriks Cauchy pada baris $i < n$ dan berbaris terakhir $(1, 1, \dots, 1)$ .
Jalankanlah $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) pada $M$ , faktorkanlah lagi, lalu simpulkanlah lewat induksi alternan ganda Cauchy:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
Simpulkanlah kriteria keterbalikannya (yaitu $a_i$ berbeda berpasangan dan $b_j$ berbeda berpasangan). Bagi matriks Hilbert $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : hitunglah $\det H_2$ dan $\det H_3$ dari rumusnya, lalu periksalah bahwa $H_2^{-1}$ berentri bilangan bulat.
Tunjukkan bahwa untuk $b_j$ yang berbeda berpasangan dan sebarang ruas kanan, sistem $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) berpenyelesaian tunggal, lalu kaitkanlah ini dengan keberadaan dan ketunggalan penguraian pecahan parsial berkutub sederhana (Teorema 9.5).

Bagian IV — Diskriminan sebuah kubik. Misalkan $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ akar (di dalam $\C$ ) atas $X^3 + pX + q$ , dan $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

Dengan memakai $\lambda^3 = -p\lambda - q$ pada setiap akarnya dan Vieta ( $p_1 = 0$ ), hitunglah $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ , dan $p_4 = 2p^2$ .
Dengan pertanyaan 5 (atas $\C$ , dengan menjaga $\det S = V^2$ ), hitunglah

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
Simpulkanlah: bahwa $X^3 + pX + q$ berakar rangkap jika dan hanya jika $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; lalu periksalah pada $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
Andaikan $p, q$ real. Buktikan bahwa kubiknya berakar real tiga yang berbeda jika dan hanya jika $\operatorname{disc} > 0$ , dan berakar satu real tambah dua akar sekawan yang tak real jika dan hanya jika $\operatorname{disc} < 0$ . (Jika $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ dan $\lambda_1 \in \R$ , tunjukkanlah bahwa $V$ murni khayal.)

Bagian V — Dividen, dan metode berselang-selingnya.

Untuk $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , tunjukkanlah $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
Hitunglah $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ untuk $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , mula-mula lewat pertanyaan 2–3, lalu lewat penjabaran langsung.
Misalkan $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ berbeda berpasangan dan taknol. Dengan memakai matriks Vandermonde yang dapat dibalik, buktikanlah lagi bahwa barisan geometri $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ membentuk keluarga bebas pada ruang barisannya.
Hitunglah $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ dari alternan gandanya.
(Polinomial berselang-seling) Sebutlah sebuah polinomial $F$ pada $x_1, \dots, x_n$ berselang-seling bila menukar dua variabelnya mengubah tandanya. Tunjukkan bahwa $F$ yang berselang-seling lenyap kapan pun $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), lalu simpulkanlah — satu variabel setiap kali, lewat teorema faktornya — bahwa $F$ terbagi oleh $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
Pakailah pertanyaan 23 untuk membuktikan ulang rumus Vandermonde tanpa induksi: bahwa determinan $\det(x_i^{\,j-1})$ merupakan polinomial berselang-seling berderajat total $\binom n2$ , jadi kelipatan tetap atas $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; lalu kenalilah tetapannya dengan membandingkan satu monomial.
Sintesis, dalam empat kalimat: sifat tunggal yang mana pada determinannya (yaitu aksioma yang mana) yang menghasilkan semua pemfaktoran soal ini; mengapakah kesamaan matriks momen pada pertanyaan 5 mengubah pernyataan tentang keberbedaan kompleks menjadi uji tanda real yang dapat dihitung; kedua matriks klasik yang mana yang dinilai selengkapnya di sini dan masalah linear yang mana yang dikuasainya; dan bagaimanakah metode berselang-seling pertanyaan 23–24 menjelaskan, dalam satu gerakan, mengapa $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ terus muncul. Namailah teorema Bagian III.

Solusi

Solusi Soal 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . Adapun interpolasi pada simpul yang berbeda meminta koefisien $P$ yang memecahkan $W c = y$ dengan $W = (x_i^{\,j-1})$ , dan $\det W = V \neq 0$ : jadi sistem Cramer.

2. Kerjakanlah kolomnya dari kiri ke kanan. $C_1$ adalah kolom tetap $P_0(x_i) = 1$ (dengan $P_0$ monik berderajat $0$ ). Andaikan kolom $1, \dots, j-1$ sudah tereduksi menjadi pangkat murni $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . Karena $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , mengurangkan dari $C_j$ kombinasi $\sum_k \alpha_k\,(\text{kolom atas } x_i^k)$ — yaitu operasi yang tak mengubah determinannya — menyisakan kolom pangkat murninya $x_i^{\,j-1}$ . Setelah kolom terakhirnya matriksnya menjadi matriks Vandermonde: jadi $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. Polinomial $(j-1)!\,B_{j-1}$ bersifat monik dan berderajat $j - 1$ , sehingga pertanyaan 2 memberikan

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

Ruas kirinya adalah determinan sebuah matriks berentri bilangan bulat (karena $B_k$ bernilai bulat pada $\Z$ : yaitu pertanyaan 16–17 pada soal akhir pekan Soal 18.1), sehingga ia bilangan bulat; dan ia positif karena $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ untuk $m_1 < \dots < m_n$ . Jadi superfaktorialnya membagi hasil kali semua selisih berpasangannya.

4. Faktorkanlah $x_i$ keluar dari setiap baris $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : jadi $S = W^{\mathsf T}W$ . Maka $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (Teorema 22.3 (2),(4)). Untuk $x_i$ yang real: $\det S = V^2 \geq 0$ , dan $S$ dapat dibalik jika dan hanya jika $V \neq 0$ jika dan hanya jika $x_i$ berbeda berpasangan — yaitu uji bertanda tegas yang dapat dihitung dari jumlah pangkatnya belaka.

6. Syarat interpolasinya $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ membentuk sistem $Wc = y$ ; dan $\det W = V \neq 0$ memberikan keberadaan dan ketunggalannya sekaligus. Inilah bukti ketiga di dalam buku ini: yaitu rumus eksplisit pada Teorema 8.23, argumen kernel pada Contoh 20.10, dan Cramer di sini.

7. Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ dengan $W'$ berupa $W$ yang kolom terakhirnya diganti oleh $y$ . Menjabarkan $\det W'$ sepanjang kolom itu:

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

Kini $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , dan mengalihkan hasil kali keduanya berongkos $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

dan dari situlah $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — yaitu rumus selisih terbagi lagi.

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ memberikan baris $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; lalu menjabarkannya sepanjang kolom pertamanya dan memfaktorkan $(x_2 - x_1)$ :

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

Ia taknol untuk $x_1 \neq x_2$ : sehingga sistem linear yang menyatakan $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ pada koefisien $P \in \R_2[X]$ bersifat Cramer — jadi interpolasi Hermite dengan simpul yang berganda terajukan dengan baik.

9. $P = a + bX + cX^2$ dengan $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ : jadi $c = 1$ , sehingga $P = 1 + X^2$ , yang tunggal. Keselarasannya: di sini $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ dan determinan pertanyaan 8 adalah $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. Perhitungan langsungnya:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

dan pembilangnya menjabar menjadi $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : yaitu selisih dibagi jumlah.

11. Untuk $i < n$ , entri baru pada baris $i$ adalah

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

Faktorkanlah $(a_n - a_i)$ keluar dari setiap baris $i < n$ , lalu $\frac1{a_n + b_j}$ keluar dari setiap kolom $j$ : maka yang tersisa berentri $\frac1{a_i + b_j}$ pada baris $i < n$ dan tetap $1$ pada baris $n$ — yaitu matriks $M$ , dengan prafaktor yang diumumkan.

12. Pada $M$ , untuk $j < n$ operasi $C_j \leftarrow C_j - C_n$ mengubah baris $n$ menjadi $(0, \dots, 0, 1)$ dan, pada baris $i < n$ ,

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

Faktorkanlah $(b_n - b_j)$ dari setiap kolom $j < n$ dan $\frac1{a_i + b_n}$ dari setiap baris $i < n$ , lalu jabarkanlah sepanjang baris terakhirnya (dengan tanda $(-1)^{n+n} = +1$ ): maka determinan sisanya adalah $C_{n-1}$ . Dengan menghimpun faktor pertanyaan 11–12:

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

dan induksinya (dengan basis $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) merakit tepat alternan ganda Cauchy: yaitu faktor $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ bagi semua pasangan, dibagi semua jumlah $(a_i + b_j)$ .

13. Rumusnya lenyap jika dan hanya jika ada $a_j = a_i$ atau $b_j = b_i$ : sehingga matriks Cauchy dapat dibalik jika dan hanya jika kedua keluarganya berbeda berpasangan. Hilbert: $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ . Untuk $n = 2$ : pembilangnya $(2-1)(1-0) = 1$ , penyebutnya $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : jadi $\det H_2 = \frac1{12}$ . Untuk $n = 3$ : pembilangnya $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , penyebutnya $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : jadi $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . Inversnya untuk $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

semuanya bilangan bulat (yaitu gejala yang benar untuk setiap $n$ ).

14. Matriks sistemnya adalah matriks Cauchy, yang dapat dibalik menurut pertanyaan 13 ketika $b_j$ (dan $a_i$ ) berbeda berpasangan: jadi penyelesaiannya tunggal. Tafsirannya: sebuah fungsi rasional $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ berkutub sederhana ditentukan oleh $n$ nilainya $R(a_1), \dots, R(a_n)$ , dan sebaliknya setiap lembar data yang demikian terwujud tepat sekali — yaitu padanan pencuplikan atas teorema keberadaan dan ketunggalan pecahan parsialnya (Teorema 9.5).

15. Vieta bagi $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , sehingga $p_1 = 0$ dan $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . Setiap akarnya memenuhi $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ; dan menjumlahkannya: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . Mengalikannya dengan $\lambda$ lalu menjumlahkannya: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. Menurut pertanyaan 5 (karena kesamaan $S = W^{\mathsf T}W$ dan $\det S = V^2$ sah atas $\C$ ),

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

dengan menjabarkannya sepanjang baris pertamanya.

17. Akar rangkap berarti dua $\lambda_i$ yang sama, yaitu $V = 0$ , yaitu $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . Bagi $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , yang cocok dengan akar rangkap $1$ pada $(X-1)^2(X+2)$ .

18. Akar yang tak real pada kubik real datang berpasangan sekawan, sehingga tepat dua kasus terjadi ketika $\operatorname{disc} \neq 0$ . Tiga akar real yang berbeda: maka $V$ real dan taknol, sehingga $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . Satu akar real $\lambda_1$ dan $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : maka

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

sehingga $V$ bilangan murni khayal yang taknol dan $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . Jadi kedua tandanya mencirikan kedua kasusnya.

19. Ambillah $b_i = a_i$ pada alternan gandanya: maka pembilangnya $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ dan penyebutnya $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (karena semua entrinya positif): sehingga determinannya positif. (Dalam bahasa kemudian: kernel $\frac1{x+y}$ bersifat tegas positif.)

20. Menurut pertanyaan 2–3, determinannya sama dengan $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Secara langsung, matriksnya adalah

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. Andaikan $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ sebagai sebuah barisan. Membacanya di $k = 0, 1, \dots, n-1$ memberikan $W^{\mathsf T}c = 0$ dengan $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ yang dapat dibalik ( $\det = V \neq 0$ , karena $\lambda_i$ berbeda): sehingga $c = 0$ . Jadi barisan geometrinya bebas.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : pembilangnya $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; penyebutnya $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . Maka $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. Jika $x_i = x_j$ , maka penukaran kedua variabelnya menetapkan titiknya tetapi mesti mengubah tanda $F$ : jadi $F = -F$ , sehingga $F = 0$ di situ. Keterbagiannya: pandanglah $F$ sebagai polinomial pada satu variabel $x_n$ dengan koefisien pada variabel lainnya; ia lenyap pada $n - 1$ “nilai” $x_1, \dots, x_{n-1}$ , sehingga pemfaktoran berulang (Teorema 8.7) memberikan $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ dengan $G$ polinomial. Adapun prafaktornya invarian terhadap penukaran dua indeks $i, j < n$ , sehingga $G$ berselang-seling pada $x_1, \dots, x_{n-1}$ , dan induksinya melengkapkannya: yaitu $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ membagi $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ merupakan polinomial pada $x_i$ ; dan menukar dua variabelnya menukar dua barisnya, sehingga $D$ berselang-seling, jadi menurut pertanyaan 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ bagi suatu polinomial $c$ . Derajat totalnya: $D$ berderajat $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ , sedangkan hasil kalinya berderajat tepat $\binom n2$ : sehingga $c$ sebuah tetapan. Adapun monomial $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ berkoefisien $1$ pada $D$ (yaitu hasil kali diagonalnya) dan $1$ pada hasil kalinya (pilihlah variabel berindeks lebih besar pada setiap faktornya): jadi $c = 1$ , dan rumus Vandermondenya jatuh tanpa induksi.

25. (i) Sifat berselang-selingnya — yaitu aksioma “dua kolom yang sama membunuh determinannya” — itulah mesinnya: karena ia menghasilkan setiap faktor $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ pada soal ini. (ii) Kesamaan $\det S = V^2$ mengganti akarnya yang kompleks dan tak terjangkau satu per satu dengan jumlah pangkatnya, yang berupa polinomial real pada koefisiennya, sehingga keberbedaannya menjadi tanda sebuah bilangan real yang dapat dihitung. (iii) Adapun determinan Vandermonde menguasai interpolasi polinomial, sedangkan determinan Cauchy menguasai pecahan parsial dan fungsi rasional yang tercuplik (dengan matriks Hilbert sebagai kasus khususnya yang paling termasyhur). (iv) Setiap polinomial berselang-seling terbagi oleh $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ , lalu cacah derajatnya memakukan polinomial yang demikian sampai sebuah tetapan — dan itulah sebabnya hasil kali ini terus muncul kembali di mana pun sebuah determinan lenyap pada keberimpitan. Adapun teorema Bagian III adalah alternan ganda Cauchy.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

system

Lihat semua 395 istilah di glosarium