O que é Posto de uma família?

Exemplo 19.16 (Calcular um posto por eliminação)

Posto de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ em $\R^3$. O espaço gerado não muda quando se subtrai de um vetor uma combinação dos outros (as duas famílias geram as mesmas combinações): substitua $(2,3,4)$ por $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ e $(3,4,5)$ por $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. O espaço gerado é agora $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, e estes dois vetores não são proporcionais: o posto é $2$. Este procedimento de subtrair e descartar é sistematizado como eliminação de Gauss no Capítulo 22.

Exemplo 19.17 (Somar por concatenação)

Tome, em $\R^3$,

A soma $F + G$ é gerada pela família concatenada dos três geradores, e

mostra que o terceiro é redundante: $F + G = F$, de dimensão $2$ — equivalentemente $G \subseteq F$, o que a relação exibe. Grassmann confirma: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. As somas calculam-se concatenando geradores e depois reduzindo a pilha pelo algoritmo do posto; nenhuma técnica nova é jamais necessária.