ما معنى رتبة عائلة؟

مثال 19.16 (حساب رتبة بالإزاحة)

رتبة $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ في $\R^3$. لا يتغير الفضاء المولَّد حين يُطرح من متجهة تركيبةٌ من البقية (لأن العائلتين تولّدان التركيبات نفسها): فاستبدل بالمقدار $(2,3,4)$ المقدارَ $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ وبالمقدار $(3,4,5)$ المقدارَ $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. والفضاء المولَّد الآن هو $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$، وهاتان المتجهتان غير متناسبتين: فالرتبة $2$. وهذا الإجراء بالطرح والإسقاط منظَّم في صورة إزاحة غاوس في الفصل 22.

مثال 19.17 (الجمع بالوصل)

خذ، في $\R^3$،

المجموع $F + G$ مولَّد بالعائلة الموصولة لكل المولّدات الثلاثة، و

تبيّن أن الثالث زائد: ومنه $F + G = F$، وبُعده $2$ — وبكيفية مكافئة $G \subseteq F$، وهو ما تعرضه العلاقة. ويؤكد غراسمان: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. فالمجاميع تُحسب بوصل المولّدات ثم تقليص الكومة بخوارزمية الرتبة؛ ولا يلزم أيّ تقنية جديدة أبدًا.