Wat is Rang van een familie? — Wiskunde

Definitie 19.15 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 19 — Eindige dimensie

De rang van een eindige familie vectoren is de dimensie van haar opspansel: $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$ , met gelijkheid aan $p$ dan en slechts dan als de familie vrij is.

Voorbeelden

Voorbeeld 19.16 (Een rang berekenen met eliminatie)

Rang van $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ in $\R^3$ . Het opspansel verandert niet wanneer men van een vector een combinatie van de andere aftrekt (beide families spannen dezelfde combinaties op): vervang $(2,3,4)$ door $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ en $(3,4,5)$ door $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ . Het opspansel is nu $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ , en die twee vectoren zijn niet evenredig: de rang is $2$ . Deze procedure van aftrekken en weggooien wordt in Hoofdstuk 22 tot Gauss-eliminatie gesystematiseerd.

Voorbeeld 19.17 (Sommeren door aaneenschakelen)

Neem in $\R^3$

F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr), \qquad G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .

De som $F + G$ wordt opgespannen door de aaneengeschakelde familie van alle drie de voortbrengers, en

(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

laat zien dat de derde overbodig is: $F + G = F$ , van dimensie $2$ — equivalent $G \subseteq F$ , wat de betrekking toont. Grassmann bevestigt: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$ . Sommen berekent men door voortbrengers aaneen te schakelen en de stapel daarna met het rangalgoritme te reduceren; een nieuwe techniek is nooit nodig.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen