¿Qué es Rango de una familia?

Ejemplo 19.16 (Calcular un rango por eliminación)

Rango de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ en $\R^3$. El subespacio generado no cambia cuando se resta a un vector una combinación de los demás (las dos familias generan las mismas combinaciones): sustitúyase $(2,3,4)$ por $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ y $(3,4,5)$ por $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. El subespacio generado es ahora $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, y esos dos vectores no son proporcionales: el rango es $2$. Este procedimiento de restar y descartar se sistematiza como eliminación de Gauss en el Capítulo 22.

Ejemplo 19.17 (Sumar por concatenación)

Tómense, en $\R^3$,

La suma $F + G$ está generada por la familia concatenada de los tres generadores, y

muestra que el tercero es redundante: $F + G = F$, de dimensión $2$ — equivalentemente, $G \subseteq F$, que es lo que exhibe la relación. Grassmann lo confirma: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. Las sumas se calculan concatenando generadores y reduciendo después el montón con el algoritmo del rango; nunca hace falta ninguna técnica nueva.