Qu'est-ce que « Rang d’une famille » ? — Mathématiques

Définition 19.15 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 19 — Dimension finie

Le rang d’une famille finie de vecteurs est la dimension du sous-espace qu’elle engendre : $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$ , avec égalité à $p$ si et seulement si la famille est libre.

Exemples

Exemple 19.16 (Calcul d’un rang par élimination)

Rang de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ dans $\R^3$ . Le sous-espace engendré ne change pas quand on retranche à un vecteur une combinaison des autres (les deux familles engendrent les mêmes combinaisons) : remplaçons $(2,3,4)$ par $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ et $(3,4,5)$ par $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ . Le sous-espace engendré est désormais $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ , et ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels : le rang vaut $2$ . Cette procédure de soustraction-élimination est systématisée sous le nom de méthode du pivot de Gauss au Chapitre 22.

Exemple 19.17 (Sommer par concaténation)

Prenons, dans $\R^3$ ,

F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr), \qquad G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .

La somme $F + G$ est engendrée par la famille concaténée des trois générateurs, et

(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

montre que le troisième est redondant : $F + G = F$ , de dimension $2$ — autrement dit $G \subseteq F$ , ce que la relation affiche. Grassmann confirme : $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$ . Les sommes se calculent en concaténant les générateurs puis en réduisant le tas par l’algorithme du rang ; aucune technique nouvelle n’est jamais nécessaire.

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Exemples

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