Ruang dual, basis dual কী?

Contoh 2.2

Pada $K_n[X]$ dengan basis $(1, X, \dots, X^n)$: basis dualnya adalah $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (koefisien Taylor). Basis lain bagi dualnya: evaluasi $P \mapsto P(x_i)$ pada $n + 1$ titik yang berbeda — basis “pra-dual”-nya di $K_n[X]$ persis keluarga polinomial Lagrange $L_i$ (jilid Tahun ke-1), sebab $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. Interpolasi adalah dualitas.

Contoh 2.4 (Sebuah basis dual di $\R^2$, dihitung tuntas)

Untuk basis $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ di $\R^2$: basis dual $(b_1^*, b_2^*)$ wajib memenuhi $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$. Dengan menulis $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$, syarat $\alpha + \beta = 1$ dan $\alpha - \beta = 0$ memberi

Pemeriksaan kewarasan: $b_1^*$ bukan $e_1^* + e_2^*$ yang dinilai begitu saja — basis dual bergantung pada seluruh basis, bukan pada tiap vektor secara terpisah (mengganti $b_2$ dengan $(0, 1)$ mengubah $b_1^*$ menjadi $x \mapsto x$). Dan rumus penguraiannya berjalan: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, yaitu penguraian genap/ganjil sebuah pasangan — basis dual adalah pengekstrak koordinat, dan yang satu ini mengekstrak bagian setangkup dan bagian antisetangkup.

Contoh 2.9 (Transpos, unsur demi unsur)

Misalkan $u \colon \R^2 \to \R^3$ bermatriks $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ pada basis kanonik. Untuk $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, hitung $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ pada basis $\R^2$:

Jadi $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, dan pada basis dual matriks $u^{\mathsf T}$ adalah

transpos abstrak adalah matriks yang dibalik, tanpa perhitungan yang tersisa untuk dipercaya begitu saja. Perhatikan mekanismenya: kolom ke-$j$ pada $A$ menjadi baris ke-$j$ pada matriks yang baru, sebab $\psi \circ u$ membaca keluaran $u$ lewat koefisien $\psi$.