Apa itu Topologi sebuah ruang metrik?

Contoh 4.4 (Interior, penutup, batas pada satu himpunan)

Di $\R$, misalkan $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interiornya: $\intoo{0}{1}$ — di sekitar sembarang $x \in \intoo01$ ada bola kecil yang tetap di $A$; sedangkan di sekitar $1$, setiap bola $\intoo{1-r}{1+r}$ bocor keluar dari $A$ di sebelah kanan, jadi $1$ bukan titik interior; dan titik terpencil $2$ pun bukan titik interior. Penutupnya: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (titik $0$ adalah limit $A$, dan tak ada lagi yang bertambah). Batasnya (penutup dikurangi interior): $\{0, 1, 2\}$. Perhatikan ketidaksetangkupan yang patut diingat: sebuah ujung dapat menjadi anggota himpunan tanpa menjadi titik interior (yaitu $1$), dapat melekat tanpa menjadi anggota (yaitu $0$), dan titik terpencil menjadi batas bagi dirinya sendiri (yaitu $2$). Pembukuan yang sama berjalan kata demi kata pada sembarang ruang metrik, dengan bola menggantikan interval.

Contoh 4.10 (Himpunan terbuka dan tertutup dikenali lewat kekontinuan)

Pencirian global (Teorema 4.6) adalah perkakas sehari-hari untuk pembukuan topologis. Di $\R^2$: himpunan $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ terbuka — sebab ia $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ untuk $g(x,y) = x^2 + y^2$ dan $h(x, y) = y - x^3$ yang kontinu, yakni irisan dua prapeta terbuka. Di $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: himpunan semua fungsi dengan $f(0) = f(1)$ dan $\int_0^1 f = 0$ bersifat tertutup — sebab ia prapeta $\{(0,0)\}$ di bawah pemetaan kontinu $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ ke $\R^2$ (tiap koordinatnya Lipschitz dengan konstanta $1$, seperti pada Latihan 4.3). Metodenya tak pernah menggambar apa pun: tunjukkan sebuah pemetaan kontinu, bacalah himpunannya sebagai prapeta, lalu kutip teoremanya.

Contoh 4.22 (Membaca kekompakan pada selimut)

Interval setengah terbuka $\intoc{0}{1}$ terselimuti oleh himpunan terbuka $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$; sembarang keluarga bagian yang hingga punya indeks terbesar $N$ dan melewatkan $\intoc{0}{\frac1N}$: jadi tak ada subselimut hingga, sehingga $\intoc{0}{1}$ tidak kompak — dan definisi barisannya melihat hal itu lewat $x_n = \frac1n$, yang limitnya $0$ meloloskan diri. Sebaliknya, menambahkan satu titik $0$ itu saja memperbaiki kedua diagnosisnya sekaligus: pada $\intcc{0}{1}$ setiap selimut semacam itu wajib memuat sebuah himpunan yang memuat $0$, dan himpunan itu menelan satu ruas awal seluruhnya, lalu berhingga banyak himpunan merampungkan sisanya. Kedua bahasa Teorema 4.20 selalu gagal atau berhasil bersama-sama — selimut mendeteksi pelarian persis di tempat barisan mendeteksinya.