ما معنى طوبولوجيا الفضاء المتري؟

مثال 4.4 (الداخل والمنغلق والحافة على مجموعة واحدة)

في $\R$، لتكن $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. الداخل: $\intoo{0}{1}$ — إذ تبقى كرة صغيرة حول أي $x \in \intoo01$ داخل $A$؛ أما حول $1$، فكل كرة $\intoo{1-r}{1+r}$ تتسرّب خارج $A$ من اليمين، ومن ثم فإن $1$ ليست داخلية؛ والنقطة المعزولة $2$ ليست داخلية أيضًا. المنغلق: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (فالنقطة $0$ نهاية للمجموعة $A$، ولا يُضاف شيء آخر). الحافة (المنغلق ناقص الداخل): $\{0, 1, 2\}$. ولاحظ التباينات الجديرة بالتذكّر: قد تنتمي نقطة طرفية إلى مجموعة دون أن تكون داخلية ($1$)، وقد تكون ملتصقة دون أن تنتمي ($0$)، والنقطة المعزولة هي حافة نفسها ($2$). ويجري مسك الدفاتر نفسه حرفيًا في أي فضاء متري، بكرات بدل الفترات.

مثال 4.10 (المفتوحات والمغلقات تُعرَف بالاتصال)

التوصيف الشمولي (المبرهنة 4.6) هو الأداة اليومية لمسك الدفاتر الطوبولوجي. ففي $\R^2$: المجموعة $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ مفتوحة — إذ هي $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ من أجل الدالتين المتصلتين $g(x,y) = x^2 + y^2$ و$h(x, y) = y - x^3$، أي تقاطع صورتين عكسيتين مفتوحتين. وفي $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: مجموعة الدوال التي $f(0) = f(1)$ و$\int_0^1 f = 0$ مغلقة — إذ هي الصورة العكسية للمجموعة $\{(0,0)\}$ بالتطبيق المتصل $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ نحو $\R^2$ (وكل إحداثية ليبشيتزية بالثابت $1$، كما في التمرين 4.3). ولا ترسم هذه الطريقة أي شكل: أبرِز تطبيقًا متصلًا، واقرأ المجموعة بوصفها صورة عكسية، ثم استشهد بالمبرهنة.

مثال 4.22 (قراءة التراص على التغطيات)

الفترة نصف المفتوحة $\intoc{0}{1}$ مغطّاة بالمفتوحات $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$، مع $n \geq 1$؛ ولأي عائلة جزئية منتهية دليل أعظم $N$ فتفوتها $\intoc{0}{\frac1N}$: فلا تغطية جزئية منتهية، ومن ثم فإن $\intoc{0}{1}$ غير متراص — وهو ما يراه التعريف المتتالي عبر $x_n = \frac1n$، التي تهرب نهايتها $0$. وفي المقابل، تُصلح إضافة النقطة الواحدة $0$ التشخيصين معًا: فعلى $\intcc{0}{1}$ يجب أن تحتوي كل تغطية كهذه مجموعةً تحتوي $0$، وهذه تبتلع قطعة ابتدائية كاملة، ويُنهي عدد منته من المجموعات الباقي. ولغتا المبرهنة 4.20 تفشلان أو تنجحان معًا دائمًا — فالتغطيات تكشف الهرب حيث تكشفه المتتاليات بالضبط.