O que é Topologia de um espaço métrico?

Exemplo 4.4 (Interior, fecho e fronteira num só conjunto)

Em $\R$, seja $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interior: $\intoo{0}{1}$ — em torno de qualquer $x \in \intoo01$ uma bola pequena permanece em $A$; em torno de $1$, toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ vaza para fora de $A$ pela direita, logo $1$ não é interior; e o ponto isolado $2$ também não é interior. Fecho: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (o ponto $0$ é limite de $A$, e nada mais se acrescenta). Fronteira (fecho menos interior): $\{0, 1, 2\}$. Note as assimetrias que vale a pena guardar: uma extremidade pode pertencer a um conjunto sem ser interior ($1$), pode ser aderente sem pertencer ($0$), e um ponto isolado é sua própria fronteira ($2$). A mesma contabilidade roda palavra por palavra em qualquer espaço métrico, com bolas no lugar de intervalos.

Exemplo 4.10 (Abertos e fechados reconhecidos pela continuidade)

A caracterização global (Teorema 4.6) é a ferramenta cotidiana da contabilidade topológica. Em $\R^2$: o conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ é aberto — é $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para a função contínua $g(x,y) = x^2 + y^2$ e $h(x, y) = y - x^3$, uma interseção de duas imagens inversas de abertos. Em $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: o conjunto das funções com $f(0) = f(1)$ e $\int_0^1 f = 0$ é fechado — é a imagem inversa de $\{(0,0)\}$ pela aplicação contínua $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ com valores em $\R^2$ (cada coordenada é $1$-lipschitziana, como no Exercício 4.3). O método nunca desenha figura: exiba uma aplicação contínua, leia o conjunto como imagem inversa, cite o teorema.

Exemplo 4.22 (Lendo a compacidade nas coberturas)

O intervalo semiaberto $\intoc{0}{1}$ é coberto pelos abertos $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$; qualquer subfamília finita tem um maior índice $N$ e deixa de fora $\intoc{0}{\frac1N}$: não há subcobertura finita, logo $\intoc{0}{1}$ não é compacto — o que a definição sequencial enxerga por meio de $x_n = \frac1n$, cujo limite $0$ escapa. Por outro lado, acrescentar o único ponto $0$ repara os dois diagnósticos de uma vez: em $\intcc{0}{1}$ toda cobertura desse tipo deve conter um conjunto que contém $0$, o qual engole todo um segmento inicial, e um número finito de conjuntos termina o resto. As duas linguagens do Teorema 4.20 sempre falham ou funcionam juntas — as coberturas detectam a fuga exatamente onde as sequências detectam.