Wat is Topologie van een metrische ruimte?

Voorbeeld 4.4 (Inwendige, afsluiting en rand op één verzameling)

Zij in $\R$ de verzameling $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Inwendige: $\intoo{0}{1}$ — rond elke $x \in \intoo01$ blijft een kleine bol in $A$; rond $1$ lekt elke bol $\intoo{1-r}{1+r}$ aan de rechterkant uit $A$ weg, dus $1$ is geen inwendig punt; en het geïsoleerde punt $2$ evenmin. Afsluiting: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (het punt $0$ is een limiet van $A$, verder komt er niets bij). Rand (afsluiting min inwendige): $\{0, 1, 2\}$. Let op de asymmetrieën die het onthouden waard zijn: een randpunt kan tot een verzameling behoren zonder inwendig te zijn ($1$), het kan aanhechtingspunt zijn zonder erbij te horen ($0$), en een geïsoleerd punt is zijn eigen rand ($2$). Dezelfde boekhouding loopt woordelijk in elke metrische ruimte, met bollen in plaats van intervallen.

Voorbeeld 4.10 (Open en gesloten verzamelingen herkend via continuïteit)

De globale karakterisering (Stelling 4.6) is het dagelijkse gereedschap voor topologische boekhouding. In $\R^2$ is de verzameling $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ open — zij is $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ voor de continue $g(x,y) = x^2 + y^2$ en $h(x, y) = y - x^3$, een doorsnede van twee open originelen. In $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ is de verzameling van de functies met $f(0) = f(1)$ en $\int_0^1 f = 0$ gesloten — het origineel van $\{(0,0)\}$ onder de continue afbeelding $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ naar $\R^2$ (elke coördinaat is $1$-Lipschitz, zoals in Oefening 4.3). De methode tekent nooit een plaatje: geef een continue afbeelding, lees de verzameling als origineel, en beroep je op de stelling.

Voorbeeld 4.22 (Compactheid aflezen aan overdekkingen)

Het halfopen interval $\intoc{0}{1}$ wordt overdekt door de open verzamelingen $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$; elke eindige deelfamilie heeft een grootste index $N$ en mist $\intoc{0}{\frac1N}$: geen eindige deeloverdekking, dus is $\intoc{0}{1}$ niet compact — wat de rijendefinitie ziet aan $x_n = \frac1n$, waarvan de limiet $0$ ontsnapt. Anderzijds repareert het toevoegen van het ene punt $0$ beide diagnoses tegelijk: op $\intcc{0}{1}$ moet elke zulke overdekking een verzameling bevatten die $0$ bevat, en die verzwelgt een heel beginstuk, waarna eindig veel verzamelingen de rest afmaken. De twee talen van Stelling 4.20 falen of slagen altijd samen — overdekkingen zien ontsnapping precies waar rijen dat doen.