¿Qué es Topología de un espacio métrico?

Ejemplo 4.4 (Interior, clausura y frontera de un mismo conjunto)

En $\R$, sea $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interior: $\intoo{0}{1}$ —alrededor de cualquier $x \in \intoo01$ una bola pequeña se queda dentro de $A$; alrededor de $1$, toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ se sale de $A$ por la derecha, luego $1$ no es interior; y el punto aislado $2$ tampoco lo es—. Clausura: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (el punto $0$ es límite de puntos de $A$ y no se añade nada más). Frontera (clausura menos interior): $\{0, 1, 2\}$. Conviene recordar las asimetrías: un extremo puede pertenecer al conjunto sin ser interior ($1$), puede ser adherente sin pertenecer ($0$), y un punto aislado es su propia frontera ($2$). La misma contabilidad funciona literalmente en cualquier espacio métrico, con bolas en lugar de intervalos.

Ejemplo 4.10 (Abiertos y cerrados reconocidos por continuidad)

La caracterización global (Teorema 4.6) es la herramienta cotidiana para la contabilidad topológica. En $\R^2$: el conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ es abierto, pues es $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para las funciones continuas $g(x,y) = x^2 + y^2$ y $h(x, y) = y - x^3$: intersección de dos imágenes recíprocas abiertas. En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: el conjunto de las funciones con $f(0) = f(1)$ y $\int_0^1 f = 0$ es cerrado, pues es la imagen recíproca de $\{(0,0)\}$ por la aplicación continua $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ con valores en $\R^2$ (cada coordenada es $1$-lipschitziana, como en el Ejercicio 4.3). El método no dibuja nunca: se exhibe una aplicación continua, se lee el conjunto como imagen recíproca y se invoca el teorema.

Ejemplo 4.22 (La compacidad leída en los recubrimientos)

El intervalo semiabierto $\intoc{0}{1}$ está recubierto por los abiertos $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$; toda subfamilia finita tiene un índice máximo $N$ y deja fuera $\intoc{0}{\frac1N}$: no hay subrecubrimiento finito, luego $\intoc{0}{1}$ no es compacto, cosa que la definición sucesional ve mediante $x_n = \frac1n$, cuyo límite $0$ se escapa. En cambio, añadir el único punto $0$ repara ambos diagnósticos a la vez: sobre $\intcc{0}{1}$, todo recubrimiento de ese tipo ha de contener un abierto que contenga a $0$, el cual se traga todo un segmento inicial, y un número finito de abiertos remata el resto. Los dos lenguajes del Teorema 4.20 fallan o triunfan siempre a la vez: los recubrimientos detectan la huida exactamente allí donde lo hacen las sucesiones.