Qu'est-ce que « Topologie d’un espace métrique » ?

Exemple 4.4 (Intérieur, adhérence, frontière sur un ensemble)

Dans $\R$, soit $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Intérieur : $\intoo{0}{1}$ — autour de tout $x \in \intoo01$ une petite boule reste dans $A$ ; autour de $1$, toute boule $\intoo{1-r}{1+r}$ fuit de $A$ vers la droite, donc $1$ n’est pas intérieur ; et le point isolé $2$ ne l’est pas non plus. Adhérence : $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (le point $0$ est une limite de $A$, rien d’autre n’est ajouté). Frontière (adhérence privée de l’intérieur) : $\{0, 1, 2\}$. Notez les asymétries à retenir : une extrémité peut appartenir à un ensemble sans être intérieure ($1$), peut être adhérente sans y appartenir ($0$), et un point isolé est sa propre frontière ($2$). La même comptabilité s’applique mot pour mot dans tout espace métrique, avec des boules à la place des intervalles.

Exemple 4.10 (Ouverts et fermés reconnus par la continuité)

La caractérisation globale (Théorème 4.6) est l’outil quotidien de la comptabilité topologique. Dans $\R^2$ : l’ensemble $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ est ouvert — c’est $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ pour les fonctions continues $g(x,y) = x^2 + y^2$ et $h(x, y) = y - x^3$, une intersection de deux images réciproques d’ouverts. Dans $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : l’ensemble des fonctions avec $f(0) = f(1)$ et $\int_0^1 f = 0$ est fermé — l’image réciproque de $\{(0,0)\}$ par l’application continue $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ à valeurs dans $\R^2$ (chaque coordonnée est $1$-lipschitzienne, comme dans le Exercice 4.3). La méthode ne dessine jamais : exhiber une application continue, lire l’ensemble comme une image réciproque, invoquer le théorème.

Exemple 4.22 (Lire la compacité sur les recouvrements)

L’intervalle semi-ouvert $\intoc{0}{1}$ est recouvert par les ouverts $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$, $n \geq 1$ ; toute sous-famille finie a un plus grand indice $N$ et manque $\intoc{0}{\frac1N}$ : aucun sous-recouvrement fini, donc $\intoc{0}{1}$ n’est pas compact — ce que la définition séquentielle voit à travers $x_n = \frac1n$, dont la limite $0$ s’échappe. En revanche, ajouter le seul point $0$ répare les deux diagnostics d’un coup : sur $\intcc{0}{1}$ tout tel recouvrement doit contenir un ensemble contenant $0$, qui avale un segment initial entier, et un nombre fini d’ensembles finit le reste. Les deux langages du Théorème 4.20 échouent ou réussissent toujours de concert — les recouvrements détectent la fuite exactement là où les suites la détectent.