Apa itu ukuran Lebesgue? — Matematika

Definisi 9.10 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 9 — Teori Ukuran

Ukuran luar Lebesgue dari $A \subseteq \R$ adalah

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(dengan selimut terbilang oleh selang terbuka).

Contoh

Contoh 9.14

Himpunan Cantor (Latihan 6.10) mempunyai $\lambda(C) = 0$ : sebab $C \subseteq C_n$ , yaitu gabungan $2^n$ selang berpanjang $3^{-n}$ , sehingga $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . Jadi ada himpunan nol yang tak terbilang — kardinalitas tak melihat ukuran. Sebaliknya, himpunan Cantor gemuk (Latihan 9.5) bersifat tak padat di mana pun tetapi berukuran positif: jadi topologi pun tak melihat ukuran. Soal akhir pekan mendorong permainan ini sampai kesimpulannya yang mencolok: bahwa ada himpunan terukur Lebesgue yang bukan himpunan Borel.

Baca dalam konteks →