लेबेग माप क्या है? — गणित

परिभाषा 9.10 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 9 — माप सिद्धांत

$A \subseteq \R$ का लेबेग बाह्य माप है

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(विवृत अंतरालों से गणनीय आवरण)।

उदाहरण

उदाहरण 9.14

कैंटर समुच्चय (अभ्यास 6.10) के लिए $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ लंबाई $3^{-n}$ के $2^n$ अंतरालों का सम्मिलन है, अतः $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ । एक अगणनीय शून्य समुच्चय — गणनीयता माप को नहीं देखती। विलोमतः, मोटे कैंटर समुच्चय (अभ्यास 9.5) कहीं सघन नहीं हैं पर उनका माप धनात्मक है: अर्थात् संस्थिति भी माप को नहीं देखती। सप्ताहांत समस्या इस पारस्परिक क्रिया को उसके चौंकाने वाले निष्कर्ष तक ले जाती है: ऐसे लेबेग-मापनीय समुच्चय हैं जो बोरेल नहीं हैं।

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