Wat is lebesguemaat? — Wiskunde

Definitie 9.10 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 9 — Maattheorie

De lebesgue-buitenmaat van $A \subseteq \R$ is

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(aftelbare overdekkingen met open intervallen).

Voorbeelden

Voorbeeld 9.14

De cantorverzameling (Oefening 6.10) heeft $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ , een vereniging van $2^n$ intervallen van lengte $3^{-n}$ , dus $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . Een overaftelbare nulverzameling — de kardinaliteit ziet de maat niet. Omgekeerd zijn dikke cantorverzamelingen (Oefening 9.5) nergens dicht met positieve maat: ook de topologie ziet de maat niet. De weekendopgave drijft dat samenspel tot zijn treffende conclusie: er bestaan lebesgue-meetbare verzamelingen die geen borelverzameling zijn.

Lees in het hoofdstuk →