Qu'est-ce que « mesure de Lebesgue » ?

Exemple 9.14

L’ensemble de Cantor (Exercice 6.10) a $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$, une union de $2^n$ intervalles de longueur $3^{-n}$, donc $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$. Un ensemble nul non dénombrable — la cardinalité ne voit pas la mesure. Réciproquement, les ensembles de Cantor gras (Exercice 9.5) sont d’intérieur vide et de mesure positive : la topologie ne voit pas non plus la mesure. Le problème du week-end pousse ce jeu jusqu’à sa conclusion frappante : il existe des ensembles Lebesgue-mesurables qui ne sont pas boréliens.