Apa itu vektor Gauss? — Matematika

Definisi 23.10 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 23 — Fungsi Karakteristik dan Teorema Limit Pusat

Sebuah vektor acak $X = (X_1, \dots, X_d)$ disebut Gauss jika setiap kombinasi linearnya $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ merupakan variabel Gauss real (yang mungkin merosot). Distribusinya ditentukan oleh vektor rata-ratanya $m = (\E X_i)$ dan matriks kovarians $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ : sebab fungsi karakteristik vektornya, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ , adalah nilai di $1$ bagi fungsi karakteristik $\langle t, X\rangle$ :

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

sedangkan fungsi karakteristik berdimensi $d$ bersifat injektif (lewat bukti pemulusan yang sama dengan Teorema 23.3, dengan Gauss koordinat demi koordinat).

Contoh

Contoh 23.9 (Selang kepercayaan, yang diturunkan secara jujur)

Jajakilah $n$ pemilih yang bebas; maka $\hat p_n = S_n/n$ menaksir $p$ yang sebenarnya, dengan $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ . Lalu teorema limit pusatnya memberikan, bagi $n$ yang besar,

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

dengan $\Phi$ sebagai fungsi distribusi Gauss bakunya. Dengan $z = 1.96$ : kepercayaan asimtotiknya $95\%$ , sedangkan marjin $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ menuntut $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — yakni bilangan di balik setiap “ $\pm3$ poin, $95\%$ ” yang orang baca; bandingkanlah dengan $5556$ milik Chebyshev (Latihan 22.7). Adapun $\sqrt n$ -nya universal: bahwa untuk memarukan galatnya, cuplikannya harus dilipatempatkan — yakni hukum yang sama yang menetapkan ongkos Monte Carlo (Latihan 23.7).

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait