Qu'est-ce que « vecteur gaussien » ? — Mathématiques

Définition 23.10 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 23 — Fonctions caractéristiques et théorème central limite

Un vecteur aléatoire $X = (X_1, \dots, X_d)$ est gaussien si toute combinaison linéaire $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ est une variable gaussienne réelle (éventuellement dégénérée). Sa loi est déterminée par le vecteur moyen $m = (\E X_i)$ et la matrice de covariance $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov}(X_i, X_j)\bigr)$ : en effet la fonction caractéristique du vecteur, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ , est la valeur en $1$ de la fc de $\langle t, X\rangle$ :

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

et les fonctions caractéristiques $d$ -dimensionnelles sont injectives (même preuve de lissage que le Théorème 23.3, gaussiennes coordonnée par coordonnée).

Exemples

Exemple 23.9 (Intervalles de confiance, honnêtement dérivés)

Sonder $n$ électeurs indépendants ; $\hat p_n = S_n/n$ estime le vrai $p$ , avec $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ . Le TCL donne, pour $n$ grand,

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

où $\Phi$ est la fonction de répartition gaussienne standard. Avec $z = 1.96$ : confiance asymptotique $95\%$ , et une marge $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ exige $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — le nombre derrière chaque << $\pm3$ points, $95\%$ >> qu’on lit ; comparer aux $5556$ de Bienaymé–Tchebychev (Exercice 22.7). Le $\sqrt n$ est universel : pour diviser l’erreur par deux, quadrupler l’échantillon — la même loi qui fixe le coût du Monte-Carlo (Exercice 23.7).

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Exemples

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