O que é vetor gaussiano? — Matemática

Definição 23.10 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 23 — Funções características e o teorema central do limite

Um vetor aleatório $X = (X_1, \dots, X_d)$ é gaussiano se toda combinação linear $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ é uma variável gaussiana real (possivelmente degenerada). Sua lei é determinada pelo vetor de médias $m = (\E X_i)$ e pela matriz de covariância $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ : com efeito, a função característica do vetor, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ , é o valor em $1$ da função característica de $\langle t, X\rangle$ :

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

e as funções características em dimensão $d$ são injetoras (a mesma demonstração por suavização do Teorema 23.3, com gaussianas coordenada a coordenada).

Exemplos

Exemplo 23.9 (Intervalos de confiança, deduzidos honestamente)

Consulte $n$ eleitores independentes; $\hat p_n = S_n/n$ estima o $p$ verdadeiro, com $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ . O teorema central do limite dá, para $n$ grande,

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

em que $\Phi$ é a função de distribuição gaussiana padrão. Com $z = 1.96$ : confiança assintótica de $95\%$ , e uma margem $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ exige $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — o número por trás de todo “ $\pm3$ pontos, $95\%$ ” que se lê por aí; compare com os $5556$ de Chebyshev (Exercício 22.7). O $\sqrt n$ é universal: para reduzir o erro à metade, quadruplique a amostra — a mesma lei que fixa o custo do Monte Carlo (Exercício 23.7).

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Exemplos

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